Gleichung lösen eine Variable: 75000 = 1840 *q* (q^20 -1)/(q-1)

Question

ich habe hier ein Gleichung, weiß aber nicht wie ich sie lösen kann. Sie lautet wie folgt:
75000 = 1840 *q* (q²⁰ -1)/(q-1)
Habt ihr eine Idee? Danke schon einmal im Voraus.

Andrea

Comments

Da kommst du vermutlich nicht um ein Näherungsverfahren herum, es sei denn du interessierst dich für komplexe Lösungen und kannst mit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=75000+%3D+1840+*q*+%28q%5E20+-1%29%2F%28q-1%29+

etwas anfangen.

Einfach umformen kann man die Geschichte nur zur zweiten der 'alternate forms' (Polynomdivision).

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Rechts steht ein Rentenendwert, der für q streng monoton steigend ist. Die Gleichung hat daher genau eine reelle Lösung, die sich mit etwas Tipparbeit durch systematisches Einsetzen beliebig genau annähern lässt: Du beginnst mit einem sinnvoll gewählten Startwert für q, der jeweils vergrößert wird, wenn die rechte Seite zu klein ist, oder verkleinert wird, wenn die rechte Seite zu groß ist. Man kann das Verfahren noch ein wenig rechengünstiger gestalten.

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Die Lösung liegt zwischen 1,0635 und 1,064, also zw. 6,35 % und 6,4 %.

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Ja. Wenn du einen positiven Wert für q voraussetzen kannst, was bei einer Rente so sein sollte. Vgl. Mein Link zu WolframAlpha oben. Es gäbe noch ein q2 = ca. -1.24

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Ja genau es ist eine Rentenrechnung wobei der Zins gesucht ist. Ich habe mir schon gedacht, dass es ohne Näherungsverfahren nicht zu berechnen ist. :-)
lg
Andrea

Answer 1

man könnte zwar den Quotienten (q²⁰-1)/(q-1) ausdividieren mit dem Ergebnis q¹⁹+q¹⁸+q¹⁷+ ...... +q²+q+1 und damit die Gleichung in eine ganzrationale Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten verwandeln. Allerdings ist deren Grad 20 sehr hoch, so dass sich mit Standardlösungsmethoden Schwierigkeiten ergeben. So sehe ich hier eigentlich auch nur ein passendes Näherungsverfahren. Da jedoch die Ableitung auch recht kompliziert ist, ist vielleicht das Newtonverfahren nicht die beste Wahl. Ich könnte mir denken, dass ein iterativer Lösungsprozess von der Sorte   q_n+1:= F(q_n)  mit einer geeigneten Funktion F und geeigneten Startwerten  q₀  praktischer sein könnte.

Falls du uns noch verrätst, wie die ursprüngliche Aufgabe genau lautete (ich orte sie im Bereich "Summen geometrischer Folgen"), können wir dir vielleicht noch bessere Tipps geben.

LG ,   Yakob