Leider ist mir unklar wie die 2. Funktion lautet
f(x) = x^{1/5} und
g(x) = x^{2/3} oder meinst du richtig x^2 / 3
Ich nehme mal das erste an und mache eine Skizze:
Schnittpunkte sind wie man nachweisen kann bei 0 und 1, da 0^a immer Null ist und 1^a immer 1.
Wir berechnen die Fläche
∫ 0 bis 1 (x^{1/5} - x^{2/3})
= [5/6 * x^{6/5} - 3/5 * x^{5/3}] 0 bis 1
= (5/6 * 1^{6/5} - 3/5 * 1^{5/3}) - (5/6 * 0^{6/5} - 3/5 * 0^{5/3})
= 7/30
Für das Volumen nimmt man typischerweise das Rotationsintegral um die x Achse.
∫ 0 bis 1 (π·(x^{1/5} - x^{2/3})^2) = ∫ 0 bis 1 (π·x^{4/3} - 2·π·x^{13/15} + π·x^{2/5})
= [3/7·π·x^{7/3} - 15/14·π·x^{28/15} + 5/7·π·x^{7/5}] 0 bis 1
= (3/7·π·1^{7/3} - 15/14·π·1^{28/15} + 5/7·π·1^{7/5}) - (3/7·π·0^{7/3} - 15/14·π·0^{28/15} + 5/7·π·0^{7/5})
= 1/14·π