Grenzwertberechnung unecht gebrochenrationaler Funktionen. fa(x) = x² / (x - a²)

Question

Gegeben ist die Funktionsschar fa(x) = x² / (x - a²),  x e R,  a e R,  a>0. Zugehörige Kurvenschar sei Ga.

Gesucht sind die Gleichungen der Asymptoten von Ga.  
Die lokalen Extrempunkte von Ga liegen auf dem Graphen einer Funktion g. Gebe die Gleichung für g an.

Comments

Ich nehme an x-a^2 steht als Ganzes im Nenner und ergänze die fehlende Klammer. Du würdest wohl mit x kürzen, wenn das nicht so wäre?

Answer 1

Wir machen eine Polynomdivision

x^2 : (x - a^2) = x + a^2 + a^4/(x - a^2)
x^2 - xa^2
--------------------
xa^2
xa^2 - a^4
--------------------
a^4

Die Asymptote ist 

ga(x) = x + a^2

 

Comments

Die lokalen Extrempunkte von Ga liegen auf dem Graphen einer Funktion g. Gebe die Gleichung für g an.

f(x) = x + a^2 + a^4/(x - a^2)

f '(x) = 1 - a^4/(x - a^2)^2 = 0

Das lösen wir nach a auf

a^4/(x - a^2)^2 = 1
a^4 = (x - a^2)^2
a^4 = x^2 - 2xa^2 + a^4
x^2 - 2xa^2 = 0
a^2 = x/2
a = √(x/2)

 

g(x) = x^2 / (x - √(x/2)^2) = x^2 / (x - x/2) = x^2 / (x/2) = 2x

Skizze folgt: