Wie Wolframalpha bedienen: Gleichung nach r auflösen, danach Werte einsetzen

Question

ich sitze noch am Problem, aus gegebener Oberfläche und Volumen eines Zylinders, den Radius r zu bestimmen. Wie sich herausgestellt hat, ist dies nicht einfach.

Bis zu dieser Formel konnte ich nach r auflösen: 0 = r³ + O/(-2*pi)*r + V/pi

Die Lösung der Gleichung hat für mich Wolframalpha hier übernommen. Dabei sind 3 Lösungen für r ersichtbar:

Meine Frage ist nun, wie kann ich die Formeln aus Wolframalpha "nehmen" (exportieren), und zwar so, dass sie Wolframalpha selbst wieder lesen kann.

Anschließend möchte ich zwei Probewerte für O und V einsetzen, um zu sehen, welche der drei Formeln ein reales Ergebnis ausspuckt.

Wer hat das schon einmal gemacht?

Comments

Hi, die reelle Nullstelle ist die erste der drei, falls das ein Teil der Frage war.

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Das habe ich auch gesehen. Nur in den Formeln zu r₂ und r₃ sind komplexe Zahlen enthalten.

Ich vermute jedoch, dass man trotz komplexer Zahlen schließlich auch bei r₂ und r₃ auf ein reelles Ergebnis kommt. Lösen sie sich ggf. auf?

Um dies zu testen, würde ich wolframalpha gerne mit der von der Software selbst ermittelten Formel füttern sowie mit zwei Werten für V und O.

Nebenbemerkung: Für die erste Formel habe ich bereits versucht, den Javascript-Code fürs Zylinder-Programm zu schreiben, jedoch erhalte ich dort bei Beispielwerten bisher immer einen negativen Wert unter der Wurzel √(54πV² - O³), siehe auch hier.

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Schreib sie doch einfach als Latex :P Ne, hast du schonmal kopieren versucht?

Legendär

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Ja natürlich. >Copyable Plaintext und dort die erste Zeile. Gebe ich dies jedoch wieder bei wolframalpha (mit oder ohne Werte) ein, gibt es den Fehler "Standard computation time exceeded...".

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Ok, die beiden anderen können ggf. auch reell sein. Mit "Copyable plaintext" lassen sich die einzelnen Ein- und Ausgaben als Plaintext anzeigen und kopieren. Da muss man sich das Passende heraussuchen. Darin wird auch die "Wolfram language" angeboten.

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Wenn ich den "Wolfram Language plaintext output" nehme und Wolframalpha damit wieder füttere, erhalte ich zurück:

"Wolfram|Alpha doesn't know how to interpret your input.
Tip: Try a shorter or simpler query
Tip: Make sure your parentheses are matched"

Wolfram Language plaintext output:

r = O/(6^(1/3) (sqrt(6) pi^(3/2) sqrt(54 pi V^2-O^3)-18 pi^2 V)^(1/3))+(sqrt(6) pi^(3/2) sqrt(54 pi V^2-O^3)-18 pi^2 V)^(1/3)/(6^(2/3) pi)

Answer 1

Hallo Kai,

ich halte es für ungeschickt, direkt WolframAlpha auf das Problem in der vorliegenden Form loszulassen. Es lohnt sich im Gegenteil sehr, zuerst ein paar einfache vorbereitende Überlegungen und Substitutionen auszuführen. Das kann man ganz leicht von Hand tun.

Führt man zum Beispiel zuerst die Abkürzungen (Substitutionen) 

$$\qquad C:=\ \frac{V}{\pi}\qquad \qquad D:=\ \frac{O}{2\,\pi}   $$

ein, so erhält man das Gleichungssystem

$$\qquad r^2\cdot h\ =\ C\ \ \wedge\ \ r^2+r\cdot h\ =\ D $$

Durch Elimination von h folgt daraus die kubische Gleichung

$$\qquad r^3-D\cdot r+C\ =\ 0 $$

für den gesuchten Radius r. Nun kann man immer noch Wolfram einschalten und erhält als Ergebnis die Lösung(en) nach Cardanischen Formeln.

Nun muss man die in Frage kommende(n) (reelle(n)) Lösung(en) auswählen. In diese kann man dann anstelle von C und D deren definierende Terme in V und O einsetzen.

Der große Vorteil dieses Weges: man muss sich nicht mit den komplizierten Formeln mit so vielen π's und unhandlichen Faktoren herumschlagen !

Comments

Danke für den Tipp mit den Cardanischen Formeln, das hat zur Lösung des Rechenproblems beigetragen! Ich kann deine Antwort leider nicht als beste auswählen, da sie zwar beim Rechenproblem geholfen hat, aber nicht die Frage oben beantwortet. Trotzdem vielen Dank! Daumen hoch :)