Wie löst man z³+6z²-32 in drei Klammern auf, wie geht man vor?

Question

Ich habe diese Aufgabe bis hier hin gelöst, komm nicht mehr weiter, in den Lösungen habe ich gesehen dass (z+4)(z+4)(z-2) = z³+6z²-32 gibt, aber ich weiss nicht wie man das selbst herausfinden soll. Gibt es da ein bestimmtes vorgehen? Oder ist das immer so wenn man etwas hoch 3 hat, dass man dann mit 3 Klammern raten muss? Ich habe es zuerst mit 2 Klammern versucht zu raten, was ich noch einfach finde, aber wann weiss man, dass man mit 3 Klammern raten muss?

Comments

Hi soweit ich  weiß muss du es in Linearfaktoren zerlegen, aslo die Nullstellen berechnen. Jetzt bin ich mir sicher^^

Answer 1

hier steht Dir die Möglichkeit der Polynomdivision zur Verfügung. Errate eine Nullstelle und nutze sie als Divisor. So erniedrigt sich das Problem um einen Grad und Du kannst die Sache bspw. mit der pq-Formel beenden.

Alles klar?

Grüße

Answer 2

Hallo a.s.,

ich würde

z³ + 6z² - 32

mit

= 0

ergänzen und dann mit kleinen Zahlen experimentieren, um diese Gleichung zu lösen.

Relativ schnell kommt man auf z₁ = 2

Dann Polynomdivision:

(z³ + 6z² - 32) : (z - 2) = z² + 8z + 16

z³ - 2z²

---------

8z² - 32

8z² - 16z

-----------

16z - 32

16z - 32

-----------

0

Also gilt

z³ + 6z² - 32 = (z² + 8z + 16) * (z - 2)

Die Nullstellen vom blauen Term kannst Du dann mit der pq-Formel herausfinden.

Besten Gruß

Answer 3

Du solltest du dazu die Nullstellen suchen:

z³ + 6z² - 32 = 0

Mindestens eine Nullstelle sollte man raten. Das sollte ein Teiler von 32 sein. Du kannst dazu auch einfach mit dem TR eine Wertetabelle im Bereich von -10 bis +10 machen.

[-5, -7;
-4, 0;
-3, -5;
-2, -16;
-1, -27;
0, -32;
1, -25;
2, 0;
3, 49;
4, 128;
5, 243]

Du siehst eine Nullstelle bei 2 und bei -4. Nun kann man eine Polynomdivision bzw. Horner-Schema für diese Nullstellen durchführen.

(z^3 + 6z^2 - 32) / (z - 2) = z^2 + 8·z + 16

(z^2 + 8·z + 16) / (z + 4) = z + 4

Damit hat man dann alle 3 Liniearfaktoren gefunden.

z^3 + 6z^2 - 32 = (z - 2) * (z + 4)^2

Comments

Wie macht man das mit den Nullstellen (ohne Taschenrechner)? Habe noch nie was davon gehört...

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Du setzt einfach für z ein paar Werte ein und schaust ob Null rauskommt.

Bei einer Funktion dritten Gerades mit konstantem Summand muss man leider zunächst eine Nullstelle raten.

Daher werden einfach ein paar Werte eingesetzt um zu schauen ob 0 heraus kommt. Günstig dabei ist das die Nullstelle ein Teiler von 32 Sein muss. D.h. es kommen nur

±1, ±2, ±4, ±8, ±16 in Frage. Diese Werte sind schnell eingesetzt und ausgerechnet.

Wenn du Glück hast macht dein TR sogar eine Wertetabelle. Das können inzwischen recht viele TR, die auch in der Schule erlaubt sind.

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@a.s: WIe der Mathecoach sagte ..mit den Wertetabellen: Wenn Du Casio fx-991DE Plus hast, dann so:

1. MODE SETUP

2. 3: TABLE

3. f(x)= Funktion eingeben

4.  "=" drücken um weiter zu gehen

5. Startwert eingeben, aslo von der Wertetabelle

6. "=" drücken um den Endwert einzugeben

7. Schrittweite eingeben

8. "=" drücken und er zeigt Dir die Wertetabelle an :)

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danke aber an unseren Prüfungen sind keine Taschenrechner erlaubt

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Wie gesagt dürfte es dir selber leicht fallen zumindest ±1, ±2 im Kopf auszurechnen. 

Wenn du dann erst eine Nullstelle hast wendest du die Polynomdivision an. 

(z³ + 6z² - 32) / (z - 2) = z² + 8·z + 16

Dann hast du ja bereits eine quadratische Funktion. entweder sieht man jetzt hier direkt das sich dahinter eine binomische Formel verbirgt oder man kann das ganze noch recht einfach mit der pq-Formel lösen.

Dazu braucht man keinen Taschenrechner. Ein Taschenrechner könnte die Sache nur etwas beschleunigen.

Answer 4

x³+6x²-32   :   x²+8x +16     =   x - 2

-x³-8x²-16x

---------------

-2x²  -16x  -32

2x²  +16x +32

----------------------------

0

Man nennt das Polynomdivision!