Für welche reellen Zahlen a ist (a+i)^3 reell?
Zuerst habe ich ausmultipliziert:
(a+i)^3=a^3+3a^2i-3a-i
Jetzt ist es ja egal, welche reelle Zahl ich für a einsetze, am Ende bleibt ja immer mindestens -i stehen, also muss 3a^2=1 ergeben, damit i-i sich aufhebt und nur der Teil von a^3-3a stehen bleibt.
Also 3a^2=1 ⇔ a^2=1/3 ⇔ a=±√(1/3)
Also ist (a+i)^3 für a=±√(1/3) reell.
Frage: Hab ich das richtig gerechnet bzw. gibt es noch mehr Lösungen für a? Bin mir hier irgendwie unsicher.
