Folge konvergiert gegen a. |an-a|< E wie auflösen? |(n^4-2n^3-100)/(124+n-2n^4)+1/2|<E.

Question

habe eine frage zu folgen kann mir jemand sagen wie ich bei der folge |an-a| wobei a der grenzwert ist, zeige dass sie gegen a konvergiert.

die aufgabe lautet: beweisen sie mit hilfe der ε,ℕ(ε)- definition dass die folge an gegen den grenzwert a=-1/2 konvergiert
( a n ) n ∈ N mit

|(n⁴-2n³-100)/(124+n-2n⁴)+1/2|

auf einen nenner gebracht und weggekürzt :|(-4n³-76+n)/2(124+n-2n^4|

durch betrag kann man vorzeichen umdrehen:|(4n³+76-n)/2(124+n-2n^4|

der betrag fällt weg,da n ∈ℕ ist . so jetzt muss ich so abschätzen das der zähler größer wird und der nenner kleiner und am ende ≤ε setzen. weiß nur nicht wie ich das mach damit ich auf ein anständiges ergebnis komme

schöne grüße eike

Comments

sorry habe einen fehler gemacht beim aufschreiben:

|(n⁴-2n³-100)/(124+n-2n⁴)+1/2| so lautet die aufgabe richtig

Answer 1

(n⁴-2n³-100)/(124+n-2n⁴)+1/2| < E. E steht für Epsilon.

 Bruch: Allers auf einen Bruchstrich

|(n⁴-2n³-100)/(124+n-2n⁴)+1/2| < E

| (2n^4 - 4n^3 - 200 + 124 + n - 2n^4) /(124 + n -2n^4)| < E

| ( - 4n^3 - 76 + n)| / | (124 + n -2n^4)| < E

Sobald n gross ist, überwiegt in Zähler -4n^3 und im Nenner -2n^4 gegenüber dem Rest. Daher oben und unten Vorzeichen drehen und Betragsstriche weglassen. Annahme z.B. n>100

 ( 4n^3 + 76 - n) /  (-124 - n +2n^4)  < E

Abschätzen: Zähler vergrössern

( 4n^3 + 76 - n) /  (-124 - n +2n^4) < ( 4n^3 ) /  (-124 - n +2n^4)  < E 

Nenner verkleinern 124 +n < n^4, unter de Annahme n>100

 ( 4n^3 + 76 - n) /  (-124 - n +2n^4) < ( 4n^3 ) /  (-124 - n + n+124 - n^4 +2n^4) = 4n^3/n^4 = 1/n < E 

1/n < E

1/E < n

Folgerung

|(n⁴-2n³-100)/(124+n-2n⁴)+1/2| < E sobald n> max{ 100 , 1/E}

qed. "Folge konvergiert gegen 1/2."

Ich überlasse dir das Nachrechnen der Abschätzung.