Gegeben fa(x)= x² / (x-a²), xεR, aεR, a>0
Weiterhin die Punkte O(0/0); P(u/0); Q(u/f1(u)) und R(0/f1(u)) mit R,u >1. Diese Punkte sind Eckpunkte eines Rechtecks. Bestimme u so, dass der Flächeninhalt dieses Rechtecks ein Minimum wird.
Es wäre eigentlich schön, wenn du dich mal wenigstens an einen Ansatz setzen würdest?
Was ist zu minimieren? Die Fläche eines Rechtecks!
Wie Berechnet man die Fläche eines Rechtecks? A = a * b
Was ist hier a und b? a ist u und b ist f(u)
Also stellen wir die Funktion für A auf
A = u * u^2 / (u - 1) = u^3 / (u - 1)
Wann wird die Fläche minimal? Wenn die Ableitung Null ist!
A' = u^2·(2·u - 3)/(u - 1)^2
Wann wird ein Bruch Null? Wenn der Zähler Null wird!
u^2·(2·u - 3) = 0
Wann wird ein Produkt Null? Wenn einer der Faktoren Null wird!
u = 0 (Für u = 0 haben wir allerdings kein Rechteck)
2·u - 3 = 0
u = 3/2
u sollte also 3/2 sein, damit die Fläche minimal wird.
Ist das wirklich ein Minimum? Nur, wenn die 2. Ableitung > 0 ist
A''(3/2) = 2·u·(u^2 - 3·u + 3)/(u - 1)^3 = 18
Ok. Damit haben wir unser Minimum gefunden.
