Richtungsableitung bestimmen

Question

Für die Funktion f(x,y,z,)=y*sin(x+z^2) und a=1/3[√2, √3, 2]^T berechne man  ∂f/∂a (-2, √2, √2).

Welches ist der größte Wert, den die Richtungsableitung von f in [-2, √2, √2]^T annehmen kann.

Answer 1

Punkt
$$a = (-2; \sqrt2; \sqrt2)$$

Richtung
$$v = 1/3*(\sqrt2; \sqrt3; 2)$$

\( \begin{aligned} \nabla f=&\left(\begin{array}{c}y \cos \left(x+z^{2}\right) \\ \sin \left(x+z^{2}\right) \\ 2 y z \cos \left(x+z^{2}\right)\end{array}\right)^{\mathrm{T}} \\(\nabla f)(a)=&\left(\begin{array}{c}\sqrt{2} \cos \left(-2+\sqrt{2}^{2}\right) \\ \sin \left(-2+\sqrt{2}^{2}\right) \\ 2 \sqrt{2} \sqrt{2} \cos \left(-2+\sqrt{2}^{2}\right)\end{array}\right)^{\mathrm{T}} \\=&\left(\begin{array}{c}\sqrt{2} \\ 0 \\ 4\end{array}\right)^{\mathrm{T}} \\ \begin{aligned} \mathrm{D}_{v} f(a) &=\frac{1}{3}\left\langle\left(\begin{array}{c}\sqrt{2} \\ 0 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\sqrt{2} \\ \sqrt{3} \\ 2\end{array}\right)\right\rangle \\ &=\frac{10}{3} \end{aligned} \end{aligned} \)