Konvergenz und Divergenz bei Reihen: ∑ (von n=1 bis ∞) (1/n)* e^{inx}

Question

Zeige für welche x∈R die folgende Reihe konvergiert, absolut konvergiert bzw. divergiert.

∑ (von n=1 bis ∞) (1/n)* e^{inx}

Bitte mit Begründung.

Comments

Für x = 0 kommt ja die harmonische Reihe raus. Das konvergiert dann sicher nicht.

Ansonsten ist e^{inx} ja ein rotierender Zeiger mit Länge 1.

Wegen 1/n ist der Betrag des Zeigers (1/n)*e^{inx} immer gerade 1/n.

Absolut konvergiert dann gar nichts. (Harmonische Reihe).

Ansonsten kann ich das nicht richtig abschätzen. Steht im Exponenten wirklich ein n und nicht etwa ein π?

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Ja, in der Aufgabenstellung steht wirklich n.

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Es könnte sein, wie bei alternierenden Reihen, dass sich die verschiedenen Richtungen gegeneinander ausgleichen. Zumindest, wenn xk = π gibt (k natürliche Zahl).

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Darf man das dann einfach so annehmen? Und wenn ja, wie komme ich auf so eine Idee? Es gibt ja keine zusätzlichen Angaben in der Aufgabenstellung oder weiß man das einfach?

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Nein. Aber du sollst ja in Abhängigkeit von x angeben, ob die Reihe konvergiert.

Ob du da nur x=0 und x≠0 zu unterscheiden hast, oder noch ganzzahlige oder rationale Vielfache von π, könntest du ja mal untersuchen. 

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Und das muss ich dann mit den mir bekannten Konvergenzkriterien machen?

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Sollte damit machbar sein, wenn die dir eine solche Frage stellen.

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Werde es mal mit dem Leibniz Kriterium versuchen. Sieht für mich so aus als ob das klappen könnte.

Answer 1

Die Potenzreihe \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}e^{inx} \) kann man ableiten aus der Potenzreihenentwicklung des Logarithmus. Es gilt  $$ (1) -log(1-t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}t^n $$ Wenn man für t den Ausdruck \( t=e^{ix} \) einsetzt erhält man die gewünschte Potenzreihe.

Der Konvergenzradius von (1) ist 1. Für \( t=e^{ix}=-1 \) konvergiert die Potentzreihe ebenfalls (alternierende Reihe nach dem Leibnitz Kriterium) und zwar gegen \( -ln(2) \) und für \( t=e^{ix}=1 \) divergiert die Reihe (harmonische Reihe).

Jetzt muss man noch bestimmen wann \( e^{ix} \) gleich 1 oder -1 glit, dann hat man den Konvergenzbereich der Reihe.

\( e^{ix}=1 \) gilt für \( x=2k\pi \) und k ist eine beliebige ganze Zahl.

\( e^{ix}=-1 \) gilt für \( x=(2k+1)\pi \) und k ist wieder eine beliebige Zahl.

Zusammengefasst gilt also

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}e^{inx} $$ konvergiert also für alle reellen Zahlen außer für \( x=2k\pi \) wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.

Comments

danke für deine Antwort! Hatte die Aufgabe zwar mittlerweile selber gelöst, so habe ich aber noch einmal eine super Bestätigung bekommen!