Gruppentheorie Übungsaufgabe

Question

Hi.

Welche der folgenden Behauptungen sind in jeder Gruppe (G, ◦) mit neutralem Element e richtig? Beweisen Sie die Aussagen oder geben Sie Gegenbeispiele an.
Für alle a , b ∈ G gilt:

a) a◦a=a◦b ⇒ a=b,

 b) a◦a=b◦b ⇒ a=b,

c) a⁵ = a ⇒ a⁴ = e,

d) a⁵ = e und a⁴ =e ⇒ a=e. 

Meine Lösungen zu den einzelnen Aufgaben werden in Kommentaren kommen ;-) Ich möchte nicht, dass mein Browser bei einer langen Antwort wieder abstürzt :/

Gruss

Comments

a)

Es gilt: $$ (a * a^{-1} ) * a = (a*a)*a^{-1} = a $$

 Setzen wir nun \( a*a = a*b \) ein, erhalten wir:

\((a*b) * a^{-1} = a \Rightarrow e * b = a \Rightarrow b = a \)

Passt das so?

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Oh man, jetzt erkennt er das TeX nicht.

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b)

Das ist falsch. Gegenbeispiel: (G, o) = (IR, *). Setze nun a = -1 und b = 1. 

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d)

\( e * e = e \Rightarrow e^{-1} = e \). Somit: \( (a^5)^{-1} = a^5 = e \) .

Kann ich hier genau wie mit "normalen" Potenzen arbeiten? 

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Zu deinem nicht umgewandelten Teil von a)

Benutzt du dort nicht auch noch das Kommutativgesetz? Warum darfst du das denn?

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Zu a): \((a*b)*a^{-1}=a\Rightarrow e\cdot b=a\) stimmt nicht.
Zu b): \((\mathbb{R}, *)\) ist gar keine Gruppe (die 0 hat kein inverses Element). Das ist also kein Gegenbeispiel
Zu d): Die "normalen" Potenzregeln aus den reellen Zahlen gelten natürlich nicht alle. \(a^n\) mit \(n\in\mathbb{N}\) ist ja nur eine Kurzschreibweise für \(\underbrace{a*a*...*a}_{n-mal}\).

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a) Es ist \( a * a^{-1} = e ~~ \Rightarrow ~~ a* (a * a^{-1} )  = a ~~ \Rightarrow ~~ (a * a) * a^{-1} = a \). 

Es ist \( a*b = a*a \). Einsetzen: \( (a*a) * a^{-1} = a \Rightarrow (a*b) * a^{-1} = a \Rightarrow a * (b * a^{-1}) = a \). 

Kürzungsregel: \( a * (b * a^{-1}) = e*a \Rightarrow b * a^{-1} = e \). D.h. \( b^{-1} = a^{-1} \text{ und } (a^{-1})^{-1} = b \). 

Wir haben bereits bewiesen, dass das Inverse des Inversen von a, wiederum a ist. Somit: \( a = b \). 

Jetzt richtig? Danke.

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b)

\( G := \mathbb R/ \{ 0 \} \) müsste bzgl. \( \cdot \) eine Gruppe sein, denn:

\( e = 1 \text{, denn } \forall x \in G ~ : \quad x \cdot 1 = x \). 

\( \text{ Sei } a \in G \Rightarrow a \cdot \frac{1}{a} = 1 := e \Rightarrow \frac{1}{a} = a^{-1} \text{, und } \frac{1}{a} \in G\).

Ausser für \( a=0 \). Aber \( 0 \notin G \). 

Dass \( a \cdot (b \cdot c) = ( a \cdot b) \cdot c \) ist ein Axiom der reellen Zahlen.

Wählt man \( a,b \in G \text{ als } a := -1 \text{ und } b := 1\), dann ist zwar \( a * a = b*b \) aber \( a \not= b \).

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Deine Lösung zu a) ist sehr kompliziert, ist sie überhaupt richtig?

Hier mein Vorschlag:

zu a)
Behauptung: a◦a = a◦b   ⇒   a = b
Beweis in aller Kürze durch Multiplikation mit dem Inversen zu a von links:
a◦a = a◦b   ⇒   a^{-1}◦a◦a = a^{-1}◦a◦b   ⇒   e◦a = e◦b   ⇒   a = b.

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Ok, aber weg sagt, dass ich einfach so mit \( a^{-1} \) multiplizieren darf?

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Warum sollte man das nicht dürfen?

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ok, habe grade einen Beweis gefunden. Schreib das als Antwort und du kriegst den Stern ;)

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Legendär:

Deine Kürzungsregel solltest du wohl nur anwenden, wenn die zu kürzenden Faktoren auf der gleichen Seite des Produkts stehen.

Daher: Drehe den blauen Term besser: (Sollte schon bekannt sein, dass a*e = e*a=a)

Kürzungsregel: a∗(b∗a−1)=a*e⇒b∗a−1=e. D.h. b−1=a−1 und (a−1)−1=b. 

Der Beweis zu a) von hh914  ist eleganter. Benutzt das Assoziativgesetz. Und zwei Gruppenelemente miteinander multiplizieren (verknüpfen) darf man in einer multiplikativen Gruppe schon gemäss Definition.

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Okay . Ist das Gegenbeispiel IR\{0} denn richtig? s.o.

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Auf den ersten Blick sehe ich bei b) keinen Fehler. 

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Okay, c) und d) sind klar, wenn kan mit \( a^{-1} \) multipliziert. (Bei d) mehrmals).

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Bei solchen Übungen geht es oft nicht nur um die Lösungsidee, sondern auch um die Ausführung, die sich natürlich nicht in dem Hinweis "sind klar" erschöpfen sollte.

PS: Desweiteren lässt sich d) auch einfacher erledigen.

Answer 1

(( a^-1 )^-1  *a^-1 )  * a ---->  e *a  --->  a , also (a^-1 )^-1 = a !

Comments

Hä, darum geht es ind er Aufgabe doch gar nicht.