Konvergenz, Divergenz prüfen: von Potenzreihe (2x-9)^3 * ∑ k=1 bis ∞ über (-2/3)^k * (x-4,5)^k

Question

 

Kann mir hier jemand bei der Aufgabe helfen ? Ich habe den Fall 5 und ungleich 5 betrachtet. Aber wie gehe ich weiter vor ? 

Comments

Ich habe den Fall 5 und ungleich 5 betrachtet.

Warum? Wie kommst du darauf, dass diese Unterscheidung interessant sein könnte? 

Answer 1

Das kannst du ja als Potenzreihe betrachten:

(2x-9)^3 * ∑ k=1 bis ∞ über (-2/3)^k * (x-4,5)^k 

und der Faktor vor der Reihe beeinflusst den Konvergenzradius nicht.

Dieser wird bestimmt durch den Grenzwert für k gegen ∞ von

|  a_k / a_k+1 | = |(-2/3)^k  / (-2/3)^{k+1} | = 3/2   , also auch Grenzwert 3/2.

Der Entwicklungspunkt  ist xo = 4,5 , also konvergiert es gewiss

für x ∈ ] 3 ; 6 [   und die Randpunkte musst du

noch extra untersuchen.