ich habe eine Frage zu nachfolgender Aufgabe.
Hoffe das ich die ersten 2 Teilaufgaben richtig habe aber bei der (c) weiß ich nicht wie man dies zeigen soll :(
Vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen? :)
Hier die Aufgabe:
Betrachten Sie das Polyeder Q ⊆ ℝn, das durch die Ungleichungen
xi ≤ 0 für alle i ∈ {1,...,n}, xi - xj ≤ 1 für alle i,j ∈ {1,...,n}, i ≠ j
definiert ist.
(a) Skizzieren Sie Q für n=2
(b) Bestimmen Sie die Dimension von Q für alle n ≥ 2
(c) Zeigen Sie, dass Q für alle n ≥ 2 (mindestens) eine unbeschränkte Facette besitzt
zu (a):
klar, Koordinatensystem und x1 ≤ 0 ; x1-x2 ≤ 1 ; x2-x1 ≤ 1 einzeichnen
(man sieht das der Polyeder nach unten links unbeschränkt ist)
zu (b):
Da 0 und die Einheitsvektoren - ei , -ej mit i,j ∈ {1,...,n } in Q liegen und davon n+1 Vektoren affin unabhängig sind,
folgt dim(Q) = n
(c)
Für die Facette F muss gelten: dim(F) = dim(Q) - 1 also dim(F) = n - 1
Für den Fall n=2 induziert ja bspw. die Ungleichung x1-x2 ≤ 1 die Facette F x1-x2=1 welche auch unbeschränkt
"nach unten" ist. Aber wie zeigt man dies im Allgemeinen für n ≥ 2 ???
Wäre euch sehr Dankbar für eine Antwort.
LG :)
