Verifiziere x^2 + 1 >= 2x, für alle x Element R^+. Beweis anhand Zeichnung erlaubt?

Question

Folgende Ungleichung soll verifiziert werden:

\( \frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right) \geq 1 \), für \( \forall \epsilon x R^{+} \)

Nachdem ich ein bisschen rumgespielt habe, bin ich auf folgendes gekommen:

\( x^{2}+1 \geq 2 x \)

Als Funktionen betrachtet ergibt sich dadurch ja folgende Zeichnung:

Rot: 2x, Blau: x²+1

Meine Frage ist nun, ob diese Visualisierung als Beweis zulässig ist.

Bitte keine Hinweise auf Alternativbeweise geben, sondern nur auf die Graphik beziehen.

Hatte eine ähnliche Frage mit anderen Angaben gestellt.

Answer 1

1/2(x + 1/x) ≥ 1

formst du falsch (unpräzis um)

x + 1/x ≥ 2

Da x ≥ 0.

x^2 + 1 ≥ 2x

Du sagst ja selbst, dass man das nicht richtig sieht am Graphen. Daher ist das kein Beweis.

Mindestens musst du noch etwas weiter umformen:

x^2 - 2x + 1 ≥ 0       

Hier kannst du eine Parabelgleichung erkennen, die du in Scheitelpunktform angeben kannst.

(x-1)^2 + 0 ≥ 0

nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt S(1,0).

Daher nie unter der x-Achse in R+_o.

Eine Graphik zu dieser Funktion f(x) = (x-1)^2 + 0  mit einem Text dazu, ist eher tauglich als Beweis, als das, was du gezeichnet hast.

Comments

Danke für die präzise Antwort, genau das wollte ich wissen :D

Answer 2

Ist doch nicht so schwierig. Zudem darf x > 0 vorausgesetzt werden.

Deine Umformung zu

x ² + 1 ≥ 2 x

ist schon mal richtig. Nun einfach mutig weitermachen:

<=> x ² - 2 x + 1 ≥ 0

(Und? Merkst du schon was?)

<=> ( x - 1 ) ² ≥ 0

(Jetzt aber, oder?)

<=> x - 1 ≥ 0

Den letzten Schritt überlasse ich dir :-)

Comments

<=> ( x - 1 ) ² ≥ 0

(Jetzt aber, oder?)

<=> x - 1 ≥ 0

Also, wenn ich x = 1/2 einsetze, stimmt die obere Ungleichung, und die untere ist nicht erfüllt. ??

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Vielen Dank für die Hilfe ;)

Ich muss das glaub ich noch lernen solch offensichtliche Dinge zu sehen und nicht so abstrakt zu denken ~.~