Allgemeine Frage zur Substitution:

Question

:-)

Angenommen wir haben ein Integral und wir sollen die Substitution anwenden.

Wieso notiert man sich dann "dx/du"? Und woher weis ich, was "dx" ist, und was "du"?

:-)

Florean

Answer 1

Hallo Florean,

ich habe mich mit dx und du usw bei der Anwendung der
Substitution beim Integrieren auch recht schwer getan,
deshalb hier meine Erklärung mit einer Skizze.

Vorbemerkung : Es ist die Funktion von mathe12. Beim Substituieren
muß alles was x beinhaltet durch u ersetzt werden.

∫ ( x + 1 )^2 dx

In Skizze 1 ist  dx auch eingetragen.

Du willst  x + 1 ersetzen durch u = x + 1
Du hast jetzt eine 2.Funktion die zunächst
unabhängig von der 1.Funktion betrachtet
wird.
siehe Skizze 2.
Für diese Funktion gilt
u ( x ) = x + 1
u ´ ( x ) = 1 = du / dx
dx = du
Nun hast du alles zum Ersetzen
∫ ( x + 1 )^2 dx
∫ u^2 du
u^3/3
Rücksubstitution
( x +1 )^3 / 3

Der Clou dürfte sein :
Der Term der ersetzt werden soll wird
als eigene Funktion aufgefasst mit
dem dann alle Ausdrücke die es zu ersetzen
gilt gebildet werden.

mfg Georg

Comments

Vielen Dank für die große Mühe! Habe das Prinzip nun richtig verstanden :-)

Answer 2

Hi Florean,

ohne allzu mathematisch zu werden (was ich diesbzgl ohnehin nicht kann) vielleicht folgendes:

dx und du sind erstmal Differentiale. Sie haben mehr die Funktion von Indikatoren (neben dem eigentlichen Zweck anzuzeigen, dass nur eine minimale Änderung von bspw. x vorliegt), vermelden also, nach was integriert/abgeleitet werden soll.

Hast Du nun die Subst. u = 2x+5 zu tätigen, dann muss die Ableitung nach x gebildet werden.

du/dx = 2

Unmathematischerweise (soweit ich weiß) ist es nun üblich nach dx aufzulösen:

dx = du/2

Nun kannst Du das ursprüngliche Differential durch du/2 ausdrücken und kannst das Integral berechnen :).

Grüße

Answer 3

Ein Beispiel zur Erklärung !
f(x)  =( x+1)²   ===>  ∫ (x+1)² dx ,Subst .: u(x)  = x+1  = u, nun u´ (x) bilden = du/dx = 1 , umstellen dx = du/1
---->  ∫ u² du/1  = ∫ u² du =  u³ /3 +C
Rücksub .: u³/3+C ---->  (x+1)³ / 3 +C  !!

Answer 4

bei der Substitution geht es schlicht darum, eine Variable mit einer anderen Variable zu ersetzen.

In deinem Fall will man das x "rausschmeissen" und mit u ersetzen. Häufig passiert es aber, das natürlich nach der Substituion trotzdem ein x im Integral bleibt, also man gemischte Sachen hat.

Deshalb muss man den Inhalt der Substitutionsvariable differenzieren, um an das "du" zu kommen, damit das Integral nicht mehr nach dx integriert wird, sondern nach du

u' ist nichts anderes als die Kurzschreibweise für du/dx was auch nichts anderes bedeutet als "Differenziere die Funktion u nach der Variable x"

Und du/dx ist ein einfacher Bruch. Damit man nach du integrieren kann, muss man nach dx umstellen, damit man das dx aus dem Integral "wegkriegt" und nach u integriert wird.

Kurz gesagt: Man will alles mit u ersetzen und es soll am Ende im Integral kein x mehr vorkommen, auch kein dx oder sonstiges.

Answer 5

Hi Florean!

Das ist eine mathematische Schreibweise fürs Ableiten. $$ $$ Wenn du eine Funktion \( f(x) \) hast, dann ist \( \frac { \mathrm{df}}{\mathrm{dx}} \) die Ableitung von \( f \) nach \(x\). Soweit klar?

Angenommen wir haben die Subst. \( u := 6x^3 - 5 \). Dann könnte man im Integral den Term \( 6x^3 - 5 \) einfach durch \( u \) ersetzen... Aber wodurch erstetzen wir dann das \( \mathrm{dx} \) im Integral?

Weil wir nach der Subst. ja nicht mehr nach \( x \) ableiten, sondern nach \( u \), müssen wir logischerweise \( \mathrm{du} \) ausrechnen und das geht wie folgt:

\( u := 6x^3 - 5 ~~~ \). Ableiten nach \(x~ \) :\( ~~~~~~~\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}} = 6 \cdot 3 \cdot x^3 = 18 x^3 \).

Jetzt nur noch nach \( \mathrm{dx} \) umstellen und fertig ;-) Alles klar?

Gruss

Comments

Alles klar, danke dir! Eines noch: Muss du/dx nicht 18x² sein?

Gruß :-)

---

Genau^^ Gut mit gedacht!