Partielle Integration und Substitution (allgemeine Lösung)

Question

Aufgabe:

$$y'=x\,cos\,(2x)$$

$$u=2x \Rightarrow \frac{du}{dx}=2 \Rightarrow dx=\frac{du}{2}=\frac{1}{2}du$$

$$\int_{}^{}\frac{1}{2}cos\,(u) \,du = \frac{1}{2}\int_{}^{}cos \,(u)\,du= \frac{sin\, (u)}{2}$$

$$\int_{}^{}\frac{sin\, (u)}{2}\cdot \frac{1}{2}\, du = \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{sin\, (u)}{2}\,du=-\frac{cos \, (u)}{4}+C$$

$$y=\frac{x\, sin \, (u)}{2}+\frac{cos \,(u)}{4}\Rightarrow y=\frac{x\, sin \, (2x)}{2}+\frac{cos \,(2x)}{4}+C$$

Ich wollte mich erkundigen, ob ich denn richtig gerechnet habe und ob die Schreibweise, wie sie oben steht in Ordnung ist.

Vielen Dank!

Answer 1

Tipp bei einer linearen inneren Funktion brauchst du nicht zu substituieren.

f(ax + b) = [1/a·F(ax + b)]'

Du brauchst also die äußere Stammfunktion nur durch die innere Ableitung teilen.

∫ x·COS(2·x) dx = x·0.5·SIN(2·x) - ∫ 1·0.5·SIN(2·x) dx

∫ x·COS(2·x) dx = x·0.5·SIN(2·x) + 0.25·COS(2·x) + C

Du hast richtig gerechnet.

Answer 2

Aloha :)

Du hast bei der Substituion vergessen, das vordere \(x\) durch \(u\) mit aufzuschreiben. Dein Ergebnis stimmt jedoch. Daher vermute ich einfach nur einen Schreibfehler:

$$\int x\cos(2x)dx=\left\{\begin{array}{c}u:=2x & x=\frac{u}{2}\\\frac{du}{dx}=2 & dx=\frac{du}{2}\end{array}\right\}=\int\frac{u}{2}\cos(u)\frac{du}{2}=\frac{1}{4}\int u\cos(u)\,du$$Die partielle Integration läuft dann so:$$\frac{1}{4}\int u\cos(u)du=\frac{1}{4}\left[u\sin(u)-\int 1\cdot\sin(u)du\right]=\frac{1}{4}\left[u\sin(u)+\cos(u)\right]$$Am Ende muss noch zurück substituiert und das Ergebnis mit einer Konstanten dekoriert werden:$$\int x\cos(2x)dx=\frac{2x\sin(2x)+\cos(2x)}{4}+\text{const.}$$

Answer 3

Partielle Integration Integral(u*dv)=u*v-Integral(v*du)

Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=Integral(z*dz*1/z´

Deine Rechnung ist richtig,aber man erkennt hier nicht,dass man hier 2 Formeln anwenden muß.

Die Formel für die Partielle Integration sehe ich hier überhaupt nicht

Die Formel für die Parielle Integration ist ja hier die Ausgangsformel mit der die Aufgabe gelöst wird.

Allerdings gibt es verschieden Scheibweisen für die Partielle Integration.

Was auf deiner Schule verlangt wird,muss in deinen Unterladen stehen

F(x)=Integral(x*cos(2*x)*dx)

u=x abgeleitet u´=du/dx=1 ergibt dx=du/1

dv=cos(2*x)  v=Integral(cos(2*x)*dx   → Integration durch Substitution