Substitution und partielle Integration

Question

ich weiß nicht, wie folgene Aufgabe geht:

Seien a,b ∈ ℝ mit a < b. Sei f : [a,b] -> ℝ differenzierbar und sei f ' stetig.

Zeige

a) durch partielle Integration, 

b) durch Substitution

dass 1/2 f^2 : [a,b] -> ℝ eine Stammfunktion von f * f ' : [a,b] -> ℝ ist

Answer 1

durch partielle Integration:

∫ f * f '  dx =  f*f - ∫ f' * f   dx     | + ∫ f' * f   dx

2*∫ f * f '  dx =  f*f

==>  ∫ f * f '  dx =  f*f  / 2 


b) durch Substitution

∫ f(x) * f '(x)   dx   ersetze  u=f(x) also du / dx = f ' (x)

                           bzw.  du =  f '(x)   dx

= ∫ u * du   =  0,5*u^2 und wieder   u=f(x)  einsetzen.

Answer 2

Was hindert dich daran genau der Anweisung in der Fragestellung zu folgen?

Den Faktor 1/2 bekommst du dann voraussichtlich ähnlich wie hier https://www.mathelounge.de/552346/partielle-integration-mit-sin-und-cos .

Answer 3

∫f*f' = [f²] - ∫f'*f

uv'   uv       u'v

Das Int nach rechts:

2∫f*f' = [f²]

∫f*f' = 1/2*[f²]

Subst:

∫f*f' = ∫u*du = [1/2*u²] = [1/2*f(x)²]

u=f(x), also du=f'(x)dx