Behauptung: Mindestens eine der Zahlen n^3+n und n^3-n ist durch 10 teilbar.

Question

Beweise, dass für jede natürliche Zahl n mindestens eine der Zahlen n^3 + n  und n^3  - n  durch 10 teilbar ist.

Merci. Mega flott.

Comments

Hatte deine Eingabe irgendeine Gliederung?

Oder behauptest du:

Für jede natürliche Zahl n ist mindestens eine der Zahlen n³ + n  und n³  - n  durch 10 teilbar.

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n³ + n = n(n^2 + 1) 

ist n gerade, so ist n^2 + 1 ungerade

ist n ungerade, so ist n^2 + 1 gerade

n(n^2 + 1) ist sicher gerade.

n³  - n  = n(n^2 -1) = n(n+1)(n-1)   

Das sind 3 aufeinanderfolgende Zahlen. Eine davon ist sicher gerade.

10 = 2*5

Du musst jetzt noch begründen, dass mindestens eine der beiden Zahlen den Faktor 5 enthält, da wir hier schon rausgefunden haben, dass beide gerade sind.

Beachte vielleicht auch, dass n^2 + 1 und n^2 -1 den Abstand 2 haben.

Answer 1

Hi, es gilt 5 | (n^3 + n)*(n^3 - n), denn

n * (n^2 + 1) * (n - 1) * n * (n + 1)  ≡

n * (n^2 - 4) * (n - 1) * n * (n+1)  ≡

n * (n - 2) * (n - 1) * n * (n+1) * (n + 2)  ≡

0 mod 5.

Da das Produkt der beiden Zahlen also durch 5 teilbar ist,
muss mindestens eine der Zahlen durch 5 teilbar sein.

Weiter ist

n^3 - n = (n - 1) * n * (n + 1) ≡ 0 mod 2 offensichtlich und auch
n^3 + n = n * (n^2 + 1) ≡ n * (n^2 - 1) = (n - 1) * n * (n + 1) ≡ 0 mod 2.

Beide Zahlen sind somit durch 2 teilbar (hätte man wohl auch so geglaubt),
so dass insgesamt mindestens eine der Zahlen durch 10 teilbar sein muss.