Umkehrfunktion grafisch Definitionsbereich

Question

Folgende Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/4 * (x²-4x+4)-2 im Intervall c<=x<=8

a)  Bestimmen Sie den Wertebereich für c , wofür eine Umkehrfunktion f ^-1(x) existiert.

b)  Skizzieren Sie die Funktionen f(x) und f ^{- 1}(x) gemeinsam in der x-y Ebene.

Meine Frage ist: Was hat es mit dem c auf sich (die Umkehrfunktion ist f ^-1 ( x ) = ± √ ( 4 * x + 8 ) + 2 )

Danke

Answer 1

f ^-1 ( x ) = ± √ ( 4 * x + 8 ) + 2 )
Die Wurzel kann nur aus einer positiven Zahl
oder null gezogen werden.
( 4 * x + 8 )  >= 0
4 * x >= -8
x >= -2
für  f ^-1  ( x ) gilt
D = [ -2 ; ∞ [

Ich muß jetzt erst einmal eine Skizze malen.

So wieder zurück.

Blau : die Funktion
Rot : die positive Umkehrfunktion
Grün : Winkelhalbierende ( Spiegel )

Die Umkehrfunktion existiert erst ab x >= -2
Für x-Werte unter -2  gibt es für die Funktion
keine Umkehrfunktion.
max c = -2
max Intervall -2 <= x <= 8

In der Fragestellung heißt es
" Bestimmen Sie den Wertebereich für c "
Dann müßte es heißen
c = [ -2 ; 8 [

Comments

tut mir Leid, Georg, diese Antwort musst du an mehreren Stellen noch entscheidend korrigieren.

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Leider weiß ich nicht wie. Erkläre es mir.

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Die Umkehrfunktion existiert erst ab x >= -2
Für x-Werte unter -2  gibt es für die Funktion
keine Umkehrfunktion.

Der erste Satz bezieht sich auf in die Umkehrfunktion einzusetzende x-Werte, also D(f^-1). Das ist ok. Der zweite Satz ist höchst missverständlich. Selbstverständlich gibt es für die Funktion f überall auf ihrem Definitionsbereich eine Umkehrung, auch für x-Werte, die kleiner als -2 sind. Diese Umkehrung ist allerdings nicht notwendigerweise eine Funktion, sondern nur dann, wenn der Definitionsbereich von f so eingeschränkt wird, dass f in diesem Bereich injektiv ist. Der von dir angegebene Bereich  max Intervall -2 <= x <= 8 erfüllt diese Bedingung nicht !
Die Skizze sollte korrekterweise so

aussehen.

Zusammengefasst : Die Lösung ist 2 ≤ c < 8

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Danke für die Antworten.

In Aufgabe a) wird nach dem Wertebereich gefragt und laut der Skizze ist es laut mein Verständnis 2<=c ,weil sonst es keine Funktion wäre (egal welches x es ist nur einmal vorhanden).

Nun verstehe ich nicht warum c? Kann es auch a,b,d heißen oder hat c eine Bedeutung?

weil im Intervall steht c<=x<=8 wie bekomme ich c heraus(was es ist) oder ist es egal?

Ich verstehe nicht ganz was das soll, weil eigentlich sollte der Df bei f ^-1(x) -2<=x und beim Wertebereich 2<=x

Ich verstehe einfach dieses c nicht.

Bitte erklärt mir was damit gemeint ist.

Danke

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@hf210
Das bei mir ein Fehler ist fiel mir gestern abend beim Fernsehen
auch noch ein.
Der von dir eingestellte Graph ist absolut richtig. Leider war dies
mit meinem Matheprogramm so nicht zu bewerkstelligen.
Auch auf die Gefahr hin wieder etwas zu voreilig zu antworten möchte
ich doch diese Gedanken zur Diskussion stellen :

Fragestellung :
Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/4 * (x²-4x+4)-2 im Intervall c<=x<=8
a)  Bestimmen Sie den Wertebereich für c , wofür ( sprachlich besser
: für den )  eine Umkehrfunktion f ^-1 ( x ) existiert.
Deine Antwort :
Selbstverständlich gibt es für die Funktion f überall auf ihrem
Definitionsbereich eine Umkehrung,
Also wäre das Intervall :
-∞ ≤ x ≤ 8  und   - ∞ ≤ c ≤ 8
Ich denke damit ist die Frage beantwortet.

Oder ist : wofür eine Umkehrfunktion
zu verstehen als
eine und nur eine Umkehrfunktion ?

 

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@mathekp
Bei dir herrscht, wie auch bei mir, etwas Verwirrung.
Zunächst : die Wahl des Buchstabens a,b,c,d,... ist beliebig
und dürfte nichts bedeuten.
Da die ganze Angelegenheit noch nicht ausdiskutiert ist schlage
ich vor erst einmal die Antwort von hj210 abzuwarten.

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Man unterscheidet zwischen Umkehrung und Umkehrfunktion.
Die Umkehrung f ^- besteht aus allen Zahlenpaaren (u|v),  für die  f(v)= u  gilt. Dabei ist die Zuordnung  u ↦ v  aber im Allgemeinen keine Funktion, selbst wenn f eine Funktion ist. Sollte die Zuordnung  u ↦ v  aber eindeutig sein, so liegt eine Umkehrfunktion vor (f ^-1). Diese Eindeutigkeit ist gleichbedeutend mit der Injektivität von f, eine hinreichende (nicht notwendige) Bedingung für Letzteres ist die Monotonie von f.
Auf die Aufgabe bezogen : gesucht ist ein Intervall [c ; 8], in dem f injektiv ist. Offenbar darf 2 kein innerer Punkt dieses Intervalls sein, woraus die Einschränkung  2 ≤ c < 8  folgt. Damit ergeben sich die blauen Zweige von f und f ^-  als Lösung.

Selbstverständlich sind zu einer gegebenen Funktion  f : D(f) → W(f)  sowohl Umkehrung f ^- als (im Falle der Existenz) Umkehrfunktion f ^-1 eindeutig bestimmt und es gilt  D(f ^-1) = W(f)  sowie  W(f ^-1) = D(f).

PS : Als Mathe-Graphikprogramm ist GeoGebra unschlagbar.

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Edit : statt "Monotonie" muss es "strenge Monotonie" heißen.

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Ist der Wertebereich für c =                      2<=c<=8 oder   2<=c<8   oder 2<=c   ?

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@hj211
Ich denke ich habe jetzt die Erklärungen.
Hauptmissverständlich ist die Frageformulierung.

Anbei die einfache Skizze für den Sachverhalt
Dargestellt ist die Funktion f ( x ) = x^2
Für jedes x gibt es 1 zugehörigen Funktionswert.
Bei der Umkehrfunktion f ( y ) = ± √ y erhalte ich
2 x-Werte.
Wird der Def-Bereich von x eingeschränkt, wie oben
angegeben, ist im jeweiligem Def-Bereich die Funktion
umkehrbar.
Eigentlich ein komplett " alter Hut ".
Für die zu untersuchende Funktion ist anhand des
Graphen zu sehen das bei Beschränkung auf die Intervalle
-∞ .. 2  und
2 ,, ∞
die Funktion jeweils umkehrbar ist.
2 ≤ x ≤ 8
Eine unglückliche Fragestellung die zudem noch verkompliziert
wurde durch die Frage nach dem Wertebereich von
Damit die Aussage wahr wird liegt der Wertebereich für
c zwischen 2 und 8
Für diese c´s wäre für die Funktion f ( x ) ein Intervall 
korrekt definiert.

@Mathekp
Ich hoffe diese Erklärung hat dir auch geholfen.
Da nach einem Intervall gefragt wurde, das einen bestimmten
Bereich definiert, muß c < 8 sein, sonst gäbe es keinen
Bereich.
2 ≤ c < 8

So. Ich hoffe, ich ( wir ) haben es.

mfg Georg

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Danke für die ausführliche Erklärung. Ich Frage mich immer noch warum es nicht c<=8 sein kann? Was wäre wenn?

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" Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/4 * (x²-4x+4)-2 im Intervall c<=x<=8 "

1. Gesucht ist ein Intervall = Bereich  [ ... ].  Wenn c = 8  ist dann ist untere
Bereichsgrenze ( 8 ) = oberer Bereichsgrenze ( 8 ) . Damit ist das Ganze
kein Bereich mehr. Der Bereich hat keine Ausdehnung.

2. Der Def-Bereich mit oberer Grenze x = 8 für eine umkehrbare Funktion
geht bis x = 2. Ab x = 2 wäre die Funktion nicht mehr ( eindeutig ) umkehrbar.
( siehe Skizze hj210 ;  f1-blaue Kurve  )
Für y = -1 gäbe es die Lösungen x = 0 und x = 4.
Der Def-Bereich kann auch noch ( anch Bedarf )  weiter eingeschränkt werden.
3 <= x <= 8 ( für x dürfen nur Werte zwischen 3 bis 8 eingesetzt werden )
4 <= x <= 8 ( für x dürfen nur Werte zwischen 4 bis 8 eingesetzt werden )
usw.
c kann Werte zwischen 2 und kleiner 8 annehmen.
Der Wertebereich von c ist
2 <= c < 8