Goniometrische Gleichung sin x + cos x = √2*sin 2x

Question

ich muss folgende trigonometrische Funktion lösen sin x + cos x = √2*sin 2x. Die Lösung der Aufgabe ist x=1/4π+2/3π. Ich hab als Lösung erstmal x=45 raus. Nur weiß ich jetzt nicht so genau, wie ich auf die Lösung komme.

Könnt ihr mir bitte den Rechenweg für die Lösung zeigen.

Comments

45° ist im Bogenmass π/4.

Das scheint nun schon mal zu stimmen.

Die anderen findest du, wenn du folgendes Video angeschaut hast. (Hängt von der Winkelfunktion ab). 

 TRI07 Einheitskreis (1/5) - Einführung Einheits betrachtest.https://www.matheretter.de/mathe-videos

Gib im Suchfeld 'Einheitskreis' ein.

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Zeig doch mal bitte deine Rechnung.

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Legen…Där: Die Rechnung scheint zu stimmen. Heisenberg muss noch den Winkel in Bogenmass umrechnen.

Heisenberg: Bitte Geduld. Damit nicht mehrere Leute am Gleichen rumrechnen müssen. Hast du das Video denn gefunden?

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Ja ich habe mir das Video angeschaut. Nur bin ich nicht so richtig schlauer als vorher. Ja die 45 hab ich in Bogenmaß umgerechnet nur weiß ich nicht so ganz, wie ich auf die 2/3π komme.

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Ich habe mir das Video angeschaut. Aber ich weiß jetzt nur nicht so genau, wie ich auf die 2/3πn komme.

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Soll da ein + stehen oder ist das eine 2. Lösung?

 Gib das bei der ursprüngiichen Frage noch an, da das Duplikat gelöscht wird

 und dann müssen wir wohl doch deine Rechnung sehen, damit wir rausfinden, wo du die 2. Lösung verloren hast.

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Die zweite Lösung war eine negative Zahl und sie war falsch x=45 ist die einzigste Lösung gewesen.

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Die zweite Lösung ist eine negative Zahl und diese war eh nicht richtig. Die einzigste Lösung ist x=45

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Probier mal  x = 165°.

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Wie kamst du da drauf?

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Quadriere deine Gleichung und erhalte nach einigen Umformungen \(2\sin^22x-\sin2x-1=0.\) Substituiere nun \(z=\sin2x\) und löse die daraus resultierende quadratische Gleichung für \(z\). Anschließend berechne \(x\) durch Rücksubstitution. Beachte dabei, dass Quadrieren keine Äquivalenzrelation darstellt.

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Das hab ich auch gemacht nur kam ich nicht auf 165.

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Vermutlich ist nach Lösungen im Intervall \([0°,360°)\) gefragt.
Die zweite Lösung \(x=165°\) erhältst du aus der Lösung \(z_2=-\frac12:\)
\(\sin2x=-\frac12\Rightarrow x=105°\lor x=165°.\)

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Sorry, wenn ich mich etwas blöd anstelle aber wie kommst du von z=-1/2 auf den Winkel x=105 und x=165?

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Dein Taschenrechner spukt doch einen negativen Winkel aus. Das hast du zumindest gesagt. Addiere 360° und halbiere mal das Resultat. 

Dann vielleicht nochmals das Video ansehen.

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Oder den Graphen der Sinusfunktion im Bereich 0° bis 360°.

Es ist \(\sin210°=\sin330°=-\frac12\). Wegen \(z=\sin2x\) müssen die Winkel noch halbiert werden.
Beachte, dass \(x=105°\) nicht Lösung der ursprünglichen Gleichung ist.

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Vielen dank für eure Antworten und Entschuldigung für die Unannehmlichkeit, die ich mache.

Ich habe jetzt nur noch eine letzte frage. Wie komme ich dann auf die 2/3nπ in der Lösung x=1/4π+2/3nπ. Muss ich dazu die 165 in rad umrechnen und dann davon die 1/4π dividieren?

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Wandle diese Antwort besser nochmals in einen Kommentar um.

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Vielen dank für eure Antworten und Entschuldigung für die Unannehmlichkeit, die ich mache.

Ich habe jetzt nur noch eine letzte frage. Wie komme ich dann auf die 2/3nπ in der Lösung x=1/4π+2/3nπ. Muss ich dazu die 165 in rad umrechnen und dann davon die 1/4π dividieren?

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https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin+x+%2B+cos+x+%3D+√2*sin%282x%29

Du hast offenbar doch für Winkel von Minus unendlich bis Plus unendlich gesucht.

Die 2. Lösung im Link deckt nun mal von π/4 aus alle Winkel ab, die mit ±2π (ganzen Drehungen) gefunden werden.

Die drei Lösungen zwischen 0 und 2π bilden vielleicht zufällig ein gleichseitiges Dreieck. Dann kann man 2π/3 beliebig oft zu einer ersten Lösung addieren.

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Ich hab mal nachgerechnet und die drei Lösungen, die du mir jetzt gezeigt hast sind jeweils 2π/3 von einander entfernt. 
Also
 1π/4-(-10π/24)=2π/3 und 22π/24-1π/4=2π/3. Somit sind alle drei Lösungen 2π/3 von einander entfernt oder?

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Ja genau. Nun darfst du diese tatsächlich zu  π/4 + 2kπ/3 , (k ganze Zahlen) zusammenfassen.    

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Jetzt hab ich noch eine letzte frage. Wie kommt man auf das erste der drei Ergebnisse  x=2(nπ-5π/24). Auf das dritte komme ich durch den Winkel von x=165 aber auf den ersten nicht so richtig.

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Dann musst du nun wohl doch mal deinen ganzen Rechenweg hinschreiben. Vielleicht kann  man dann sehen, wo du sie verlierst (wegkürzt oder so was)

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sinx+cosx=2sin2x (sinx+cosx)2=2sin22x 1+sin2x=2sin22x 12+12sin2x=sin22x

z=sin2x

12+12z=z2 z2-12z-12=0 z1,2=-p2±p24-q z1,2=122±(12)24+12 z1,2=14±116+12 z1,2=14±116+816 z1,2=14±916 z1,2=14±34 z1=14+34=1 z2=14-34=-12

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Hoffentlich kannst du die Formatierung noch retten.

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Ich weiß nur nicht gerade wie

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Kannst du sie vielleicht als Kommentar zu deiner Antwort noch reinkopieren?

Alternativ: Ohne LateX schreiben.

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sinx+cosx=2sin2x

(sinx+cosx)^2=2sin²(2x)

1+sin(2x)=2sin²(2x)

1/2+1/2sin2x=sin²(2x)

z=sin(2x)

1/2+1/2z=z²

z²-1/2z-1/2=0

und dann mit p-q-Formel folgende ergebnisse

z₁=1/4+3/4=1

z₂=1/4-3/4=-1/2

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sin(2x) = 1

2x = π/2 + 2kπ

x = π/4 + kπ

sin(2x) = -1/2

2x2 = -π/6  + 2kπ 

2x3 = 7π/6 + 2kπ

x2 = -π/12 + kπ

x3 = 7π/12 + kπ

So kommen jetzt zu viele Lösungen raus. Das liegt daran, dass man quadriert hat.

Du musst jeweils zwei im Abstand von π in der ursprünglichen Gleichung testen.

Es sollten bleiben, wenn ich das richtig gerechnet habe π/4, 11π/12, 19π/12=-5π/12. 

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Nur stimmen doch die nullstellen der ausgangsfunktion mit den Lösungen x2 und x3 nicht mehr überein oder?

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Das darfst du nicht so pauschal sagen. Du musst schon

-π/12 und -π/12 + π

7π/12 und 7π/12 + π 

testen. Die beiden blauen zumindest sollten passen. Die andern beiden nicht.

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Wenn man π zu beiden dazu addiert, wie bei den blauen kommt es hin und stimmt mit den Werten. Muss man dann nur π oder nπ dazu addieren?

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Du hast jetzt erst mal  alle 3 gesuchten Winkel zwischen 0 und 2π (0° und 360°).

Nun kannst du ungeprüft zu jedem von diesen Winkeln beliebig viele volle Umdrehungen 2π addieren.

Also zu jeden 2kπ addieren.

Oder wegen der gefundenen gleichmässigen Verteilung der Resultate einfach zum ersten Resultat 

2kπ/3 addieren: Jede Drehung gibt 3 Lösungen am richtigen Ort.

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Zu den beiden Lösungen -π/12 + π und 7π/12 + π die 2π dazu addieren (-π/12 + π + 2π) oder hinten an das +π noch ein n dazu?

Nur würde bei nur n die Lösung bei n=0 nicht stimmen

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Ja eben. Wie gesagt, musst du alle Lösungen prüfen, weil du quadriert hast. 

Daher fliegt die Hälfte der Resultate raus. n darf nicht gerade sein.

Answer 1

sinx+cosx=2sin2x

(sinx+cosx)²=2sin²(2x)

1+sin(2x)=2sin²(2x)

1/2+1/2sin2x=sin²(2x)

z=sin(2x)

1/2+1/2z=z²

z²-1/2z-1/2=0

und dann mit p-q-Formel folgende ergebnisse

z₁=1/4+3/4=1

z₂=1/4-3/4=-1/2

Kommentiert vor 52 Minuten von Heisenberg

sin(2x) = 1

2x = π/2 + 2kπ

x = π/4 + kπ

sin(2x) = -1/2

2x2 = -π/6  + 2kπ 

2x3 = 7π/6 + 2kπ

x2 = -π/12 + kπ

x3 = 7π/12 + kπ

So kommen jetzt zu viele Lösungen raus. Das liegt daran, dass man quadriert hat.

Du musst jeweils zwei im Abstand von π in der ursprünglichen Gleichung testen.

Es sollten bleiben, wenn ich das richtig gerechnet habe π/4, 11π/12, 19π/12=-5π/12. 

Nur stimmen doch die nullstellen der ausgangsfunktion mit den Lösungen x2 und x3 nicht mehr überein oder?

Kommentiert vor 21 Minuten von Heisenberg

Das darfst du nicht so pauschal sagen. Du musst schon

-π/12 und -π/12 + π

7π/12 und 7π/12 + π 

testen. Die beiden blauen zumindest sollten passen. Die andern beiden nicht.

Kommentiert vor 17 Minuten von Lu

Wenn man π zu beiden dazu addiert, wie bei den blauen kommt es hin und stimmt mit den Werten. Muss man dann nur π oder nπ dazu addieren?

 Kommentiert vor 9 Minuten von Heisenberg

Du hast jetzt erst mal  alle 3 gesuchten Winkel zwischen 0 und 2π (0° und 360°).

Nun kannst du ungeprüft zu jedem von diesen Winkeln beliebig viele volle Umdrehungen 2π addieren.

Also zu jeden 2kπ addieren.

Oder wegen der gefundenen gleichmässigen Verteilung der Resultate einfach zum ersten Resultat 

2kπ/3 addieren: Jede Drehung gibt 3 Lösungen am richtigen Ort.

Comments

Ich hab die Rechnung jetzt mal zu einer ± vollständigen Rechnung zusammenkopiert.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin+x+%2B+cos+x+%3D+√2*sin%282x%29 

Das ist doch nicht deine erste Aufgabe. Du hast ja routiniert umgeformt. Wie man die andern Lösungen noch alle findet solltest du von einfacheren Aufgaben schon kennen. Schau mal noch genau in die vorhandenen einfacheren goniometrischen Gleichungen rein:

https://www.mathelounge.de/tag/goniometrische