Formel vereinfachen / umstellen (x^{k+1} - x^k)/(x^{k+1} - x^{k-1})

Question

$$\frac { { x }^{ k+1 }-{ x }^{ k } }{ { x }^{ k+1 }-{ x }^{ k-1 } } =\frac { { x }^{ k }(x-1) }{ { x }^{ k }(x-x) } =?$$

wie vereinfache ich das ganze richtig?

Answer 1

(x^{k+1} - x^k)/(x^{k+1} - x^{k-1}) 

= (x^k(x-1))/(x^{k-1}(x^2 -1))          |x^{k-1} kürzen         , wobei x≠0

= (x(x-1))/(x^2 -1)  

= (x(x-1))/((x -1)(x+1))          |(x-1) kürzen            , wobei x≠1    

= x / (x+1)      , wobei x ≠0 und x≠1

Du kannst dich jeweils auch von https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E%28k%2B1%29+-+x%5Ek%29%2F%28x%5E%28k%2B1%29+-+x%5E%28k-1%29%29++ inspirieren lassen.

Comments

aber kann ich im 2 Schritt ($$\frac { { x }^{ k } }{ { x }^{ k-1 } }$$ ) das einfach weg kürzen ist ja nicht das selbe?

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x^k / x^{k-1} = x*x^{k-1} / x^{k-1} = x/1 = x

Das eine x oben bleibt also als Faktor stehen.

Answer 2

$$\frac { { x }^{ k+1 }-{ x }^{ k } }{ { x }^{ k+1 }-{ x }^{ k-1 } } =\frac { { x }^{ k }(x-1) }{ { x }^{ (k +1)}(1-x^2) } $$is glaubich gescheiter, sonst dividierst du grundsätzlich durch Null, was ja im Allgemeinen eher ungünstig ist.

Answer 3

x^k  kürzen → (x-1) / (x - x) = (x - 1) / 0  , verboten !

Comments

ja aber raus kommen sollte $$\frac { x }{ x+1 } $$ wie komm ich darauf