Gauß anwenden bei: (1) x+10z^2=2014, (2) 2y+z=54, (3) (y+2z+3,5w)*z=1211?

Question

ich verzweifle aktuell sehr an einer Aufgabe.

Wir beschäftigen uns aktuell im Mathematik Leistungskurs mit LGS.

Bislang hatten wir immer soviel (oder auch mehr) Gleichungen wie auch Variablen.

Jetzt haben wir eine Aufgabe mit vier Variablen und nur drei Gleichungen bekommen.

Wie ist das möglich? Ich kann die Variablen in Abhängigkeit von der vierten Variable bestimmen, ich soll aber alle möglichen Zahlen nennen.

Die Gleichungen lauten:

(1) x+10z^2=2014

(2) 2y+z=54

(3) (y+2z+3,5w)*z=1211

Ich möchte nicht unbedingt eine Lösung haben, jedoch wäre ein erster Ansatz eine große Hilfe!

Comments

Na ja, möglich ist vieles. Das vorliegende Gleichungssystem beweist, dass es so etwas gibt. Es ist im Übrigen kein lineares Gleichungssystem (LGS). Man kann nicht unbedingt erwarten, dass es genau eine oder auch nur endlich viele Lösungen gibt. Immerhin kann man die üblichen Methoden anwenden und einige Variablen eliminieren. Das wäre für's Erste mein Vorschlag.

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Ist das (y ........) *z ?

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Erstmal danke für deine schnelle Antwort! Was meinst du mit den üblichen Methoden? Ich weiß halt gar nicht wie ich hier vorgehen soll, da es auch keine zwei Gleichungen mit nur zwei Variablen gibt.

Ja, genau.

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Kann jemand den Rechnungsweg aufgliedern, weil ich es auch nicht verstehe

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Wenn ich das richtig sehe, ist das Aufgabe 541211 aus der aktuell laufenden 54. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulrunde). Welche Komiker stellen denn laufende Wettbewerbsfragen?

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(y+2z+7/2w)*z=1211

Meinst du: w steht neben dem Bruchstrich?

(y+2z+3.5w)*z=1211     |*2

(2y + 4z + 7w)*z = 2422

z müsste nun ein Teiler von 2422 sein. Mache von 2422 eine Faktorzerlegung. Das schränkt die Möglichkeiten für z schon mal ein.

2422 = 2*7*173

Answer 1

x + 10·z^2 = 2014
x = 2014 - 10·z^2

2·y + z = 54
y = 27 - 0.5·z

(y + 2·z + 3.5·w)·z = 1211
((27 - 0.5·z) + 2·z + 3.5·w)·z = 1211
w = - 3/7·z + 346/z - 54/7

Nun hat man nach allen Unbekannten in Abhängigkeit von z aufgelöst.

Comments

Gut, aber: "Ich kann die Variablen in Abhängigkeit von der vierten Variable bestimmen" das wusste der Fragesteller schon...

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Danke für deinen Lösungsansatz.

Kann ich z nun auch noch festlegen?

Wortlaut der Aufgabe ist "Bestimme alle positiven ganzen Zahlen"

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Wortlaut der Aufgabe ist "Bestimme alle positiven ganzen Zahlen"

Das ist aber eine ganz erhebliche Einschränkung, die Du bisher leider unterschlagen hast...

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Der Wortlaut mit ganzen Zahlen ist mir auch gerade erst wirklich ins Auge gestochen. Wie geht man denn an so etwas heran, wenn die Lösung bereits im Vorhinein eingeschränkt wird?

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Naja überlege dir ist x für alle positiven ganzen Zahlen z selber eine positive ganze Zahl? Eventuell muss ich hier schon den wertebereich für x einschränken.

Ist y eine positive ganze Zahl für alle x aus dem obigen Bereich? Wenn nein muss ich noch weiter einschränken.

Für welches x ist nun w auch noch eine positive ganze Zahl.

Du wirst nur für z = 14 eine Lösung finden, die der Bedingung genügt.

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Ok, wenn ich z=14 nehme, bekomme ich passende Werte für alle anderen Variablen raus, das passt.

Jetzt frage ich mich nur gerade, wie du von den drei Aussagen, die du getätigt hast, auf die exakte Lösung für z kommst?

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Durch Einschränkung des Definitionsbereiches.

Wie gesagt liefert mir jede Gleichung ja eine Bedingung. Fange bei der Bedingung an was z sein muss wenn x eine ganze positive zahl sein soll.

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Verstehe deinen Ansatz leider noch nicht ganz

Z muss auch eine positive ganze Zahl sein

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Ja ich weiß

x = 2014 - 10·z²

Hier darf ich für z aber nicht alle positiven ganzen Zahlen einsetzen. Immerhin darf x doch nicht negativ werden. 

2014 - 10·z^2 > 0 
z < 14.19154677

Das schränkt doch den Wertebereich von z schon sehr ein oder nicht?

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Ok, alles klar. Danke für deine Hilfe!

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Noch mehr und viel sinnvoller schränkt es ein wenn man die Primfaktorzerlegung 1211 anschaut. Zusammen mit 2 liefert das genau einen Wert für z und der den alle anderen.

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Wie meinst du das?

Primfaktorzerlegung habe ich gerade gegoogelt, jedoch versteh ich nicht worauf du hinaus möchtest?

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Na ja, mit

(3) (y+2z+3,5w)*z = 1211 = 7*173

gibt es nicht mehr so viele Möglichkeiten für z.

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Weder 7 noch 173 könnten z sein

173 ist eh zu hoch in der ersten rechnung

und 7 stößt in der zweiten auf ablehnung, weil y dann nicht eine ganze zahl wäre

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Es behauptet auch niemand, dass 7 oder 173 sind. 7 ist übrigens sehr wohl eine ganze Zahl, das ergibt keine Probleme und hat mit der 2 nichts zu tun. Vielleicht solltest du auch mal den Begriff gerade Zahl googlen.

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Werd mir nicht beleidigend
wenn ich für z 7 in die zweite gleichung einsetze, kommt keine ganze zahl für y raus
Nächstes mal bitte lesen & denken!!

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"Werd mir nicht beleidigend"

Ich sehe hier nirgendwo eine Beleidigung. Wo siehst du denn eine?

"Nächstes mal bitte lesen & denken!! "

Das rate ich dir auch.

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Lieber dhdhdh,

die Aufgabe ist aus der laufernden Mathematik-Olympiade:

http://www.essener-mathematikwettbewerb.de/aufgaben/EMW30_Q.pdf

Daher rate ich mal wieder dazu zu lesen und zwar die Wettbewerbsbedingungen, insbesondere Punkt 2.

Gegen die verstößt du.

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ich hätte eine Frage darauf:

Was bringt einem die Primfaktorzerlegung? Heißt das, dass der Def- Bereich bis 7 geht?