So hab mir grad beim Essen mal die Aufgabe zu Gemüte geführt^^ Ist schwierig hier Tipps zu geben ohne die Katze direkt aus dem Sack zu lassen, deshalb poste ich mal die Lösung und du solltest versuchen, sie zu verstehen. Bei Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung.
Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper, \(V\) ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum und \(f:V\rightarrow V\) eine lineare Abbildung. Dann gilt \(\ker(f) \cap Im(f) = 0\) genau dann, wenn \(\ker(f^2) = \ker(f)\), wobei \(f^2:=f\circ f\).
\(Beweis.\)
"\(\Rightarrow\)":
Sei \(\ker(f) \cap Im(f) = 0\).
"\(\subset\)": Sei \(x\in\ker(f^2)\). Dann gilt \(0=f^2(x)=f(f(x))\) also ist \(f(x)\in\ker(f)\) und \(f(x)\in Im(f)\), folglich ist \(f(x)=0\) (Annahme) und damit \(x\in \ker(f)\).
"\(\supset\)": Sei \(x\in\ker(f)\). Dann gilt \(f(x)=0\). Es folgt \(f^2(x)=f(f(x))=f(0)=0\) und damit ist \(x\in\ker(f^2)\)
"\(\Leftarrow\)":
Sei \(\ker(f^2) = \ker(f)\).
Sei \(y\in \ker(f) \cap Im(f)\) beliebig. Zu zeigen ist, dass \(y=0\). Wegen \(y\in \ker(f) \cap Im(f)\) gilt insbesondere \(y\in Im(f)\) und damit existiert ein \(x\in V\) derart, dass \(f(x)=y\). Da wegen \(y\in \ker(f) \cap Im(f)\) aber auch \(y\in\ker(f)\) gilt, erhält man \(0=f(y)=f(f(x))\). Also ist \(x\in \ker(f^2)\). Nach Annahme gilt also insbesondere \(x\in \ker(f)\) und damit ist \(y=f(x)=0\).
Alles klar?
