Zeigen Sie, dass Kern(φ) eine Untergruppe von G ist und dass Bild(φ) eine Untergruppe

Question

Aufgabe:

Seien (G, eG, ·G) und (H, eH, ·H) Gruppen und φ: G → H ein Gruppenhomomorphismus. Der
Kern von φ ist definiert als Kern(φ) := φ^−1 ({eH}) und das Bild von φ als Bild(φ) := φ(G)

(a) Zeigen Sie, dass Kern(φ) eine Untergruppe von G ist und dass Bild(φ) eine Untergruppe
von H ist.

(b) Zeigen Sie, dass φ genau dann injektiv ist, wenn Kern(φ) = {eG} gilt.

Problem/Ansatz:

ich weiß nicht was der Index bei e heißen soll, also e Index G (das gleiche bei H). Ist e das neutrale Element? Wenn ja wieso wird es dieses mal in dieser Aufgabenstellung extra notiert, weil normalerweise macht man das ja nicht.

bei der b) ist mein Problem, dass ich nicht mal wirklich weiß, was zu "zeigen" ist, also man soll ja zuzeigen und dann bla bla

und dann Beweis und dann sein Beweis ausführen, aber kein Plan wie es hier machen soll

Comments

Wir haben hier 2 Gruppen, jede Gruppe hat ein neutrales Element. Also eins in G, Bezeichnung \(e_G\) und eins in H, Bezeichnung \(e_H\)

Was die Aufgabe a) angeht: Ihr habt doch sicher ein Kriterium kennengelernt, wann eine Teilmenge einer Gruppe eine Untergruppe ist, nämlich.....