Zeigen Sie, dass Kern (φ) eine Untergruppe von G ist.

Question

Seien \( (G, \cdot, e),(\tilde{G}, \odot, \tilde{e}) \) zwei Gruppen und \( \varphi: G \rightarrow \tilde{G} \) ein Gruppenhomomorphismus sowie
\( \operatorname{Kern}(\varphi):=\{g \in G: \varphi(g)=\tilde{e}\} \subset G . \)
a) Zeigen Sie, dass \( \varphi(e)=\tilde{e} \) gilt.
b) Zeigen Sie: \( \forall g \in G: \varphi\left(g^{\prime}\right)=\varphi(g)^{\prime} \).
c) Zeigen Sie, dass \( \operatorname{Kern}(\varphi) \) eine Untergruppe von \( G \) ist.

Answer 1

c) Zeigen Sie, dass \( \operatorname{Kern}(\varphi) \) eine Untergruppe von \( G \) ist.

Dazu braucht man drei Dinge:

1. e∈\( \operatorname{Kern}(\varphi) \)

dazu muss man zeigen φ(e) = \(  \tilde{e} \)

ist in a) erledigt.

2. \( \operatorname{Kern}(\varphi) \) ist abgeschlossen

Seien dazu x,y ∈  \( \operatorname{Kern}(\varphi) \)

==>  φ(x)=φ(y)= \(  \tilde{e} \).

==>   φ(x)\(\odot\)φ(y)= \(  \tilde{e} \odot \tilde{e}= \tilde{e}\).

Wegen Hom. also

auch φ(x·y)= \(  \tilde{e} \), also x·y ∈  \( \operatorname{Kern}(\varphi) \)

3. zu jedem x∈\( \operatorname{Kern}(\varphi) \)
       ist auch x'∈\( \operatorname{Kern}(\varphi) \)

Folgt sofort aus b).