Zeigen Sie, dass Kern (φ) eine Untergruppe von G ist.

Question

Seien $(G, \cdot, e),(\tilde{G}, \odot, \tilde{e})$ zwei Gruppen und $\varphi: G \rightarrow \tilde{G}$ ein Gruppenhomomorphismus sowie
$\operatorname{Kern}(\varphi):=\{g \in G: \varphi(g)=\tilde{e}\} \subset G .$
a) Zeigen Sie, dass $\varphi(e)=\tilde{e}$ gilt.
b) Zeigen Sie: $\forall g \in G: \varphi\left(g^{\prime}\right)=\varphi(g)^{\prime}$.
c) Zeigen Sie, dass $\operatorname{Kern}(\varphi)$ eine Untergruppe von $G$ ist.

Answer 1

c) Zeigen Sie, dass $\operatorname{Kern}(\varphi)$ eine Untergruppe von $G$ ist.

Dazu braucht man drei Dinge:

1. e∈$\operatorname{Kern}(\varphi)$

dazu muss man zeigen φ(e) = $\tilde{e}$

ist in a) erledigt.

2. $\operatorname{Kern}(\varphi)$ ist abgeschlossen

Seien dazu x,y ∈  $\operatorname{Kern}(\varphi)$

==>  φ(x)=φ(y)= $\tilde{e}$.

==>   φ(x)$\odot$φ(y)= $\tilde{e} \odot \tilde{e}= \tilde{e}$.

Wegen Hom. also

auch φ(x·y)= $\tilde{e}$, also x·y ∈  $\operatorname{Kern}(\varphi)$

3. zu jedem x∈$\operatorname{Kern}(\varphi)$
       ist auch x'∈$\operatorname{Kern}(\varphi)$

Folgt sofort aus b).