Integral mit partieller Integration

Question

Ich möchte folgendes Integral berechnen:

∫ (6x^2 - 2)*ln(x) dx

Ich habe es mit zweimal partieller Integration versucht, komme aber immer auf das falsche Ergebnis. Wäre super, wenn mir das jemand zeigen könnte.

Comments

Was ist denn Dein Ergebnis?

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Ich würde so beginnen:

∫ (6x^2 - 2)*ln(x) dx = (2x^3 - 2x)*ln(x) - ∫ (2x^2 - 2) dx = ...

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Komme auf ln(x)*(2x^3-2x)-(2/3x^3+4x)

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Entweder muss das letzte Plus ein Minus sein, oder das letzte Klammerpaar muss weg. Sonst stimmt's.

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Danke für deine Antwort! Die Vorzeichen bei der partiellen Integration treiben mich noch in den Wahnsinn.

Answer 1

Hi,

eigentlich reicht einmal part. Integration pro Summand? ;)

$$\int (6x^2-2)\ln(x) dx = \int 6x^2\ln(x) dx - \int 2\ln(x) dx $$

Für ersteres wähle \(f = \ln(x)\) und \(g' = x^2\). Letzteres sollte klar sein.

Du kommst auf:

$$= 2x^3\ln(x) - 2\int x^2 dx - 2x\ln(x) + \int2 dx + c$$

$$= -\frac{2x^3}{3} + 2x^3\ln(x) + 2x - 2x\ln(x) + c$$

Grüße

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danke für deine Antwort. Diese Vorzeichen bringen mich noch zum Verzweifeln. Aber du hast es wirklich sehr schön verständlich aufgeschrieben, so dass ich jetzt auch weiß, wo mein Fehler ist.

Answer 2

∫ (6·x^2 - 2)·LN(x) dx

= (2·x^3 - 2·x)·LN(x) - ∫ (2·x^3 - 2·x)·(1/x) dx

= (2·x^3 - 2·x)·LN(x) - ∫ (2·x^2 - 2) dx

= (2·x^3 - 2·x)·LN(x) - (2/3·x^3 - 2·x)

= (2·x^3 - 2·x)·LN(x) - 2/3·x^3 + 2·x

Du darfst gerne noch den konstentan Summanden C hinzufügen.

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Danke für deine Antwort! Auch sehr schön nachvollziehbar für mich.