Lineare algebra wirtschaft

Question

Aufgabe Möbelfabrik

In einer Möbelfabrik werden die Sessel Relax (R) und Freddy (F) hergestellt. Die Herstellung erfolgt in 4 Arbeitstagen an den Maschinen $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ und $M_{4}$. Auf jeder Maschine kann immer gleichzeitig nur an einem Sessel gearbeitet werden.

Die Arbeitszeit je Sessel, die zur Verfügung stehenden Betriebsstunden der Maschinen und die Gewinne sind folgender Tabelle zu entnehmen.

Betriebsstunden an Maschine	Durchschnittliche Arbeitszeit pro Sessel in Stunden für Relax (R)	Durchschnittliche Arbeitszeit pro Sessel in Stunden für Freddy (F)	Maximale tägliche Betriebsstundenzahl
$\mathrm{M}_{1}$	0,25	0.50	7
$\mathrm{M}_{2}$	0,25	0,25	5
$\mathrm{M}_{3}$	0,50	-	8
$\mathrm{M}_{4}$	-	0,50	6
Gewinn je Sessel in €	150	100

a) Ermitteln Sie grafisch die Anzahl der Sessel Relax und Freddy, bei der der Gewinn maximal wird. Bestimmen Sie mögliche ungenutzte Maschinenlaufzeiten.

b) Die Gewinnsituation ändert sich kurzfristig. Die Möbelfabrik kann nun für beide Sessel je 150 € Gewinn erzielen. Interpretieren Sie die neue Gewinnsituation.

An den Maschinen $\mathrm{M}_{1}$ bis $\mathrm{M}_{3}$ soll zusätzlich der Sessel Lord (L) gefertigt werden. Die durchschnittlichen Arbeitszeiten für diesen Sessel liegen an Maschine $\mathrm{M}_{1}$ und an Maschine $\mathrm{M}_{2}$ bei jeweils 0,25 Std., an Maschine $\mathrm{M}_{3}$ bei 1 Std. Die Maschine $\mathrm{M}_{4}$ wird bei der Herstellung von $L$ nicht benötigt. Der Gewinn je Sessel von $L$ liegt bei 200 €. Gleichzeitig wird die Produktion des Sessels Freddy (F) so umgestellt, dass die Bearbeitungszeit auf Maschine $\mathrm{M}_{4}$ vollständig entfällt. Die restlichen Bearbeitungszeiten bleiben unverändert. Der Gewinn für das Modell Relax liegt bei 150 € und von Modell Freddy bei 100 €.

c) Stellen Sie die neue Produktionssituation in einer Tabelle dar.

d) Wenden Sie die Simplexmethode zur Bestimmung der gewinnoptimalen Produktionszahlen an. Bestimmen Sie dabei auch den maximalen Gewinn und mögliche Restkapazitäten der Maschinen.

Answer 1

0.25·x + 0.5·y = 7
0.25·x + 0.25·y = 5
0.5·x = 8
0.5·y = 6
125·x + 100·y = c

Wir lösen alle Gleichungen nach y auf.

y = 14 - 0.5·x
y = 20 - x
x = 16
y = 12
y = c - 1.25·x

Wir zeichnen die Geraden und die Isoerlösgeraden ein

Das Maximum ist wohl bei 16 Einheiten Relax und 4 Einheiten Freddy.

Schaffst du dann den Rest weiter zu machen?