Wenn es einen Vektor \(v\neq 0\) und eine Zahl \(\lambda\) gibt, sodass die Gleichung
$$ Av = \lambda v $$
erfüllt ist, so nennt man \(\lambda\) einen Eigenwert von A und \(v\) einen Eigenvektor von A zum Eigenwert \(\lambda\).
Per Definition gibt es also zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor. (!)
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
$$ \chi_{A}(\lambda) = \det(A - \lambda \cdot I) $$
wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist. Man kann sie also recht leicht berechnen. Wenn du die Eigenwerte hast, kannst du die obige Gleichung \(Av = \lambda v~\Leftrightarrow~Av-\lambda v=0~\Leftrightarrow~(A-\lambda \cdot I)v =0\) angehen.
Bemerkung am Rande: Die Lösungen dieser Gleichung sind die Elemente von \(\ker(A-\lambda \cdot I)\), diesen Unterraum nennt man auch Eigenraum zum Eigenwert \(\lambda\) aber das ist erst mal nicht so wichtig.
Zur Kontrolle (hoffentlich hab ich mich nicht verrechnet, sonst wirds peinlich^^):
Eigenwerte: \(\lambda_1 = 1\) und \(\lambda_2 = -3\)
Eigenvektoren: Zu \(\lambda_1:~t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und zu \(\lambda_2:~t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) jeweils mit \(t\in \mathbb{R}\).
