Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Flug beide Triebwerke ausfallen?

Question

Die Aufgabe:

Bei einem Flugzeug fätt alle 5000 Stunden ein Triebwerk aus. Dieses Flugzeug hat 2 Triebwerke. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem 3 Stunden Flug beide Triebwerke ausfallen?

Ich habe mir dafür ein Baumdiagramm aufgezeichnet und bin alle möglichen Pfade entlang gegangen, die zum Ereignis geführt hätten:

Nun meine zwei Fragen:

Ist dieses Baumdiagramm richtig oder habe ich einen Logikfehler?

Und ich finde diesen Weg ziemlich aufwendig, wie könnte man es viel einfacher rechnerisch lösen mit welcher Logik? Viele meinten irgendwas mit Schnittmenge oder Komplimentärmenge oder so.

Hoffe auf eine Antwort!

Gruß

Comments

$$\frac{3}{5000} \cdot \frac{3}{5000}$$

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wie kommst du darauf?

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Deine Anfrage hat einen sehr langen Diskussionstrang ausgelöst.
Die Lösung dürfte mittlerweile klar sein.
Bist du mit der Beantwortung deiner Frage zufrieden oder
soll ich die Lösung hier nocheinmal einstellen ?
mfg Georg

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit das 1 Triebwerk auf dem 3 Stunden Flug
ausfällt ist 3 / 5000 = 0.0006 oder 0.06 %

Die Wahrscheinlichkeit das beide Triebwerke ausfallen beträgt
0.0006 * 0.0006 = 0.00000036

Warum muß multipliziert werden ?

Beispiel : 2 Würfe mit einer Münze.
( K für Kopf ; Z für Zahl )
K K
K Z
Z K
Z Z

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis K K  ( 2 mal Kopf ) ist 0.25 / 25 %
Bei 1 Wurf habe ich die Wahrscheinlichkeit für Kopf = 0.5
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis K K ist
0.5 von 0.5 also
0.5 * 0.5 = 0.25

Soweit ein einfaches Beispiel.

Comments

Warum

P = 3/5000 = 0.0006

und nicht

P = 1 - (1 - 1/5000)^3 = 0.0005998800239

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Vorabbemerkung : ich bin kein Freund von Wahrscheinlichkeitsrechnungen,
obwohl diese wahrscheinlich genauso logisch und mathematisch zu handhaben
sind wie andere Mathebereiche auch.
Außerdem fehlt mir ein bißchen der Bezug zum Leben. " Mit welcher Wahrscheinlich-
keit wird sich dieser Aktienkauf oder finanzielle Beteilung lohnen ? " Oje, was bin
ich damit schon reingefallen.

meine ( einfache ) Überlegung  :
Ausfallwahrscheinlichkeit für die 1. Std Flugzeit : 1 / 5000 = 0.0002
Für die 2.Std ebenso, und die 3. Also insgesamt
3 * 1 / 5000
mfg Georg

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Hier ist ein Fehler bei mir vorhanden.
Es muß die Gegenwahrscheinlichkeit ( 1 - 1/5000 ) ermittelt
und dann 3 mal mit sich selbst multipliziert werden. Dann
von 1 abziehen.
mfg Georg

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Ich würde sogar noch weitergehen und sagen ich modelliere das ganze eher über eine Exponentialverteilung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung

Allerdings weiß ich nicht wie vorbelastet der Fragesteller ist, wenn er mit einem Baumdiagramm ankommt :)

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Zitat:"Es muß die Gegenwahrscheinlichkeit ( 1 - 1/5000 ) ermittelt
und dann 3 mal mit sich selbst multipliziert werden"

wie kommen wir denn da drauf ?!

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Kann ich erklären.
Zunächst das einfache Beispiel.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 zu würfeln ?
Antwort 1/6.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit 7 Würfen eine 6 zu würfeln ?
Wir haben aufaddiert :
1/6 + 1 /6 + 1/6 + 1 /6 + 1/6 + 1 /6 + 1 /6  = 7/6 = 1.17 entspricht 117 %
Daß kann nicht sein. Die höchstmögliche Wahrscheinlichkeit für ein
Ereigins ist 1 oder 100 %.
Jetzt kommt die Gegenwahrscheinlichkeit ins Spiel.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln keine 6 zu würfeln ?
Antwort 5/6.
Beim 2.Wurf ist die Gesamtwahrscheinlichkeit 5/6 von 5/6 oder mathematisch
5/6 * 5/6
Beim 7.Wurf ist die Wahrscheinlichkeit ( 5/6)^7 oder 27.9 % für gar keine 6.
Übertragen aufs das Flugzeugtriebwerk
Wahrscheinlichkeit für den Ausfall 1/5000.
Gegenwahrscheinlichkeit bilden ( 1 - 1/5000) ( kein Triebwerksausfall )
Für 3 Stunden ( 1 - 1/5000) * ( 1 - 1/5000) * ( 1 - 1/5000)
0.9998 * 0.9998 * 0.9998
( 1 - 1/5000)^3 = 0.9998^3 = 0.99940012
99.940012 % für keinen Triebwerksausfall
oder 0.00059988 für einen Triebwerksausfall.
Aus pädagogischen Gründen höre ich hier auf und
überlasse dir die Berechnung für 2 Triebwerke.

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Zitat:

Für 3 Stunden ( 1 - 1/5000) * ( 1 - 1/5000) * ( 1 - 1/5000)

setzt voraus, dass sich die drei Betriebsstunden beeinflussen. Tun sie aber nicht.

Ist wie drei mal Würfeln ... 3 mal 1/6 sind 3/6 und nicht
$$(1-(\frac{5}{6})^3)$$

Edit: da kommt ja das gleiche raus !

muss nochmal nachsehen ...

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Kann nicht mehr editieren - zu spät!

also kommt doch nicht das Gleiche raus!

Nach georg sinkt die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln mit der Anzahl der Versuche und die Maschine stürzt immer seltener ab, je länger sie fliegt!

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" Nach georg sinkt die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln
mit der Anzahl der Versuche "
Leider hast du das Beispiel und die Formel nicht verstanden.
Die Wahrscheinlichkeit erhöht sich.

1. Versuch : Keine Sechs würfeln 5 / 6; 1 Sechs würfeln 1 / 6
2. Versuch : für jede Augenzahl besteht wieder dieselbe
Wahrscheinlichkeit. Der Ausgang des 1.Würfelns hat keinen
Einfluß auf den Ausgang des 2.Versuchs. Aber : die Gesamt-
wahrscheinlichkeit keine Sechs beträgt 5/6 - zweiter Versuch von
5/6 im 1.Versuch oder mathematisch 5/6 * 5/6.
Auflistung der Möglichkeiten 1.und 2.Versuch
1 - 1
1  -2
1 - 3
1 - 4
1 - 5
1 - 6

2 - 1
2  -2
2 - 3
2 - 4
2 - 5
2 - 6

3 - 1
3  -2
3 - 3
3 - 4
3 - 5
3 - 6

4 - 1
4  -2
4 - 3
4 - 4
4 - 5
4 - 6

5 - 1
5  -2
5 - 3
5 - 4
5 - 5
5 - 6

6 - 1
6  -2
6 - 3
6 - 4
6 - 5
6 - 6

Ich zähle 5 * 5 = 25 Kombinationen in denen keine Sechs vorkommt:
Dies entspricht dem oben aufgestellten Term ( 5/6 )^2 = 25 von 36
der Gegenwahrscheinlichkeit.
Stimmt also.
Keine Sechs
1. Versuch  5/6 = 0.883
2. Versuch (5/6)^2 = 0.694
3. Versuch (5/6)^3 = 0.579
...
7. Versuch (5/6)^7 = 0.279
Beim 7.Versuch ist die Wahrscheinlichkeit keine
Sechs gewürfelt zu haben 27.9 %
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist 72.1 %
Die Wahrscheinlichkeit Sechsen zu würfeln
nimmt also mit den Würfen zu.

Schau dir die Rechnungen mal in Ruhe an.

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Du hast recht und ich mei Ruh ... Dein Ansatz ist aber trotzdem falsch!

vielleicht schaust du dir diesen Kurs mal an:

https://iversity.org/my/courses/einfuehrung-in-die-wahrscheinlichkeitsrechnung/lesson_units

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Um in den Kurs zu kommen muß man sich irgendwie einloggen oder
über facebook anmelden. Das möchte ich nicht.

Desweiteren : wieso hast du in deiner Antwort 2 unabhängige Ereignisse
- Ausfall eines Triebwerks - mit einem Malzeichen verknüpft und nicht
mit einem Plus-Zeichen ?

Die ganze Angelegenheit ist etwas komplizierter als gedacht, aber dadurch
lernen wir ja.

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Das Einloggen ist kostenfrei und der Betreiber sehr seriös - es werden nur Hochschulen als Anbieter akzeptiert.

Ich weiss allerdings auch nicht, ob dieser Kurs noch für Neubeginner offen ist, aber man kann sich jedenfalls einen Platz bei der Wiederholung reservieren.

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Der Kurs war übrigens recht gut. Ich hatte ja an dem Teilgenommen.

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das auf einem 5001 Stunden Flug (Wir können in der Luft auftanken) ein Triebwerk ausfällt ?

Sind das 5001/5000 ?

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"Bei einem Flugzeug fätt alle 5000 Stunden ein Triebwerk aus."

also fällt es in 5000 Stunden einmal aus ... zumindest im Durchschnitt bei unendlich vielen Betriebsstunden.

Bei 5001 Stunden Flug passiert es ein klitzekleines bisschen öfter - ich würde sagen jede Flugstunde birgt die Gefahr des Triebwerkausfalles mit der Wahrscheinlichkeit 1 / 5000 und jede weitere erhöht diese Gefahr um weitere 1 / 5000.

Bei 10000 Stunden würde es sogar zweimal ausfallen - bei 500000 Stunden hundert Mal.

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ich würde sagen jede Flugstunde birgt die Gefahr des Triebwerkausfalles mit der Wahrscheinlichkeit 1 / 5000

Warum sollte das so sein? Diese Annahme erscheint mir nicht gut begründet.
MatheCoach und GeorgBorn arbeiten ebenfalls mit dieser Annahme und berechnen die W. für einen Triebwerksausfall innerhalb von drei Sunden zu   1 - (1 - 1/5000)³ . Mit dieser Argumentation wäre ein Ausfall innerhalb von 5000 Stunden mit einer W.  von 1 - (1 - 1/5000)⁵⁰⁰⁰ = 0,632  zu erwarten, wie vereinbart sich das mit der Anfangsaussage   Bei einem Flugzeug fätt alle 5000 Stunden ein Triebwerk aus  ?
Die ganze Aufgabe ist nur dann sinnvoll zu lösen, wenn diese Anfangsaussage umformuliert wird in der Art  "Die W., dass ein Triebwerk innerhalb von 5000 Stunden ausfällt, beträgt 90%". Nur dann lässt sich eine vernünftige Aussage über die W. eines Ausfalls in einem beliebigen Zeitintervall machen.

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Euer Ansatz ist einfach ... zu kompliziert.

Nehmen wir an, es wird 6000 mal gewürfelt - dann habe ich durchschnittlich 1000 6er

Jetzt nehme ich einen Würfel mit 6000 Seiten - da bekomme ich durchschnittlich einen 6er bei 6000 Würfen, oder? zwei 6er bei 12.000 Würfen ; Tausend 6er bei 6 Millionen Würfen. Oder ein sechstausendstel bei einem Wurf.

Oder ein Triebwerk mit 5000 Stunden (im Durchschnitt) bis zum Ausfall macht 1 Ausfall pro 5000 Betriebsstunden. Oder 1/ 5000 pro Betriebsstunde. Mit jeder Stunde zieht der Flugggast ein neues Los mit der Wahrscheinlichkeit 1/5000 einen Triebwerkausfall zu gewinnen.

Bei 10000 Betriebsstunden kommen im Schnitt 2 Ausfälle vor ... undsoweiter - gaaanz einfach !

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Ein Triebwerk kann aber eben nur einmal ausfallen - egal ob in 20 Minuten oder in zwei Stunden oder in 20000 Stunden.

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Hm. Das würde bedeuten wenn wir gleich in der ersten Stunde einen Triebwerksausfall haben können wir getrost aufatmen, weil dann kann ja 4999 Stunden garantiert nichts mehr passieren.

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Nein, das heißt es ganz und gar nicht. (Es heißt zunächst einmal hoffen, dass das andere Triebwerk nicht auch noch ausfällt),
Es bedeutet, dass dieses Triebwerk nun mal eine Lebensdauer von einer Stunde hatte. Es ist hin und wird auf dem nächsten Flug durch ein neues ersetzt.
In meiner vorgeschlagenen Version bedeutet dieser Ausfall, dass das Triebwerk zu jenen 10% gehört, die die 5000 Betriebsstunden nicht geschafft haben, in eurer Version bedeutet er (nehme ich zumindest an), dass zur Kompensation ein nächstes Triebwerk um so länger halten muss, damit eine mittlere Betriebsdauer von 5000 Stunden erreicht wird.

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Jetzt kommst du in Bedrängnis. Also es wird ausgetauscht und das nächste genommen. Auch dieses wird sicher irgendwann kaputt gehen und sicher nicht erst in der 5000. Betriebsstunde. Das machen wir jetzt immer öfter hintereinander. Es ist recht unwahrscheinlich das ein Triebwerk 5000 Betriebsstunden durchhält und dann kaputt geht. Meist geht es vorher kaputt.

Nimmt man jetzt alle Ausfälle und teilt das durch die Anzahl der Betriebsstunden. Kann man dann sagen: Bei einem Flugzeug fällt alle 5000 Stunden ein Triebwerk aus.

Nein, denn im Schnitt würde es so ja viel viel öfter ausfallen.

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Die "Einsteigervariante" ist die Annahme annähernd unendlich viele Fflugstunden zu machen und dabei stellt sich raus, dass es alle 5000 Stunden verreckt. Mal nach 100 Stunden - mal nach 9900 Stunden ...

Wenn man einen Sechser würfelt heisst das ja auch nicht, dass man anschliessend 5 mal würfeln muss, um den nächsten Sechser zu bekommen. Man kann ausrechnen, wie oft man würfeln muss, um mit 90%iger Wahrscheinlichkeit einen 6er zu bekommen, aber das ist in der Aufgabenstellung nicht gefragt - da bin ich mir sicher.

An dem  Flieger hängen einfach zwei 5000 seitige Würfel und eine der Seiten bedeutet kaputt. Dann will man wissen, wie oft im Durchschnitt bei unendlich vielen Betriebsstunden beide Würfel zur gleichen Stunde einen Hauptgewinn machen. Sonst nix und total einfach.

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Zitat:

"Es ist recht unwahrscheinlich das ein Triebwerk 5000 Betriebsstunden durchhält und dann kaputt geht. Meist geht es vorher kaputt."

Das ist absolut unhaltbare subjektive Betrachtungsweise und hat nix mit Statistik zu tun !

"recht unwahrscheinlich" ist totaler Käse und warum soll es "meist vorher kaputt" gehen? Wo steht das in der Aufgabenstellung ???

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Ich bin durchaus nicht in Bedrängnis, denn ich habe die Aufgabe nicht gestellt. Dadurch, dass einige (vielleicht sogar sehr viele) Triebwerke auch nach 8000 Stunden noch nicht verreckt sind, kann doch leicht eine durchschnittliche Lebensdauer von 5000 Stunden erreicht werden.

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Was sollen denn diese Würfel am Flieger ?
Wird jede Stunde einmal gewürfelt ? Dann ist nicht mit Sicherheit garaniert, dass nach 5000 Würfen der Ausfall erscheint. Und was ist, wenn beim 20ten Wurf der Ausfall kommt, wird dann mit einem defekten Triebwerk weiter geflogen wie MatheCoach vorschlug oder wird das Triebwerk ersetzt und das Spiel geht von vorne los ?
Und warum 5000 seitige Würfel, die einmal pro Sunde geworfen werden ? Warum nicht 300000seitige Würfel, die im Minutentakt rollen ?

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Es wird repariert. Oder ausgetauscht. Du kannst einen Würfel nach jeder 6 von mir aus ersetzen. Es ändert an der Wahrscheinlichkeit ja nichts.

Deine beiden Aussagen

"Dann ist nicht mit Sicherheit garaniert, dass nach 5000 Würfen der Ausfall erscheint."

"Dadurch, dass einige (vielleicht sogar sehr viele) Triebwerke auch nach 8000 Stunden noch nicht verreckt sind, kann doch leicht eine durchschnittliche Lebensdauer von 5000 Stunden erreicht werden."

widersprechen sich doch. Entweder willst du die Lebensdauer eines Triebwerkes auf maximal 5000 Stunden begrenzen oder nicht. Mir ist nicht ganz klar welche Auffassung du vertrittst.

Aber vielleicht verstehe ich dich auch nur falsch. Dann tut es mir leid.

Ich persönlich finde die Sache mit dem Würfel treffend. Dann würde jede Stunde gewürfelt ob wir einen Ausfall haben oder nicht. Wie gesagt generell hätte ich es sogar mir einer Exponentialverteilung modelliert. Das habe ich nur nicht gemacht, weil es nicht so aussah als würde sich der Fragesteller damit auskennen.

Im Schnitt hat man beim Würfeln jedes 6. mal eine sechs. Nun kann es passieren das man innerhalb von 6 Würfen auch drei mal eine 6 würfelt genauso wie es passiert das man 6 Würfe ohne eine 6 würfelt.

Das ist halt Zufall.

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Nach den ganzen wortreichen Beiträgen mal zur Abwechselng
etwas Einfaches.
Annahme:
Die Statistik der Airline besagt :
Triebwerksausfall für 5 Flieger : nach 4000, 4500, 5000, 5500, 6000 Std
Die durchschnittliche Dauer bis zum Eintritt des Triebwerksausfalls
beträgt also 5000 Std.
Formel :1 - (1 - 1/5000)^t  für die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für einen Triebwerksausfall nach
4000 Std : 1 - ( 1 - 1/5000)^{4000} = 0.55 = 55 %
4500 Std : 1 - ( 1 - 1/5000)^{4500} = 0.59 = 59 %
5000 Std : 1 - ( 1 - 1/5000)^{5000} = 0.63 = 63 %
5500 Std : 1 - ( 1 - 1/5000)^{5500} = 0.67 = 67 %
6000 Std : 1 - ( 1 - 1/5000)^{6000} = 0.70 = 70 %
....
∞  Std      :  1 = 100 %

Die mittlere Zeitdauer bis zum Eintritt eines Triebwerksausfalls beträgt
5000 Std. Die Wahrscheinlichkeit des Triebwerksausfall im Zeitraum
von 5000 Std beträgt 0.632 = 63.2 %

Gruß an alle
Georg

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Das sieht ziemlich gut aus.
Kannst du mir noch Folgendes erklären ?
Du arbeitest mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung  F(t) = 1 - c^t  (c = 1 - 1/5000). Diese hat die Wahrscheinlichkeitsdichte  f(t) = F'(t) = -c^t·ln c  und demzufolge den Erwartungswert  E  =  ∫₀^∞ t·f(t) dt  =  -ln c · ∫₀^∞ t·c^t dt  =  - 1 / ln c · [ c^t·(t·ln c - 1) ]₀^∞ =  - 1 / ln c  = - 1 / ln (1 - 1/5000) = 4999,5  . Warum ergibt sich nicht  E = 5000 ?

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Leider kenne ich mich mit den von dir angesprochenen Berechnungen 
nicht aus und muß die Frage weiterreichen.

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@hj213: Das liegt daran, dass du eine kontinierliche W.keitsverteilung annimmst während georgborn eine diskrete verwendet, um genauer zu sein die geometrische Verteilung. Das Maß ist das Zählmaß, nicht das Lebesquemaß, i.a.W. ist wird summiert: $$E(X)=\sum_{t=0}^\infty tf(t)$$

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Richtig. Das Problem hat man z.b. auch wenn man die Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung mit der Normalverteilung nähert. Dann muss man eine Grenzenverschiebung um ± 0.5 durchführen.

das könnten wir hier auch machen

∫(- (4999/5000)^t·LN(4999/5000)·t, t, -0.5, ∞) = 4999.499958

Das hier jetzt nicht ganz 5000 heraus kommt liegt halt daran das etwas diskretes durch etwas stetiges genähert wird.

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Nichts in der Aufgabenstellung weist auch nur im Mindesten auf eine nichtlineare Verteilung der Schadenshäufigkeit hin.

Sollte mit einer Gaussglocke gearbeitet werden, wäre das Wort "Normalverteilung" oder "normalverteilt" gefallen. Ist es aber nicht. Es ist weder gefallen noch steht es da.

Auch ein anderer Hinweis wie z.B. [95% der Ausfälle kommen zwischen 4000 und 6000 Betriebsstunden vor] ist unvorhanden und somit kann man getrost vom einfachsten Fall der linearen Verteilung ausgehen !

Der Fragesteller hat sich mit einer noch zu berechnenden Wahrscheinlichkeit aus dem Kellerfenster gestürzt oder mit einem vergifteten Strick erschossen. Jedenfalls weiss er mit an Wahrscheinlichkeit grenzender Sicherheit nicht, wie er die Aufgabe nun lösen soll.

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@pleindespoir:
Wie kommst Du denn auf normalverteilt?
Und was soll bitte eine lineare Verteilung sein?

Das ist hier ganz klar eine Exponentialverteilung.

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Wie bitte kommst du auf eine Exponentialverteilung ?

Steht da dass nach 5000 Stunden die Hälfte aller Triebwerke  ausfallen ? (oder ähnliches)

Wenn das sooo eindeutig wäre, gäbe es hier keine Diskussion.

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Jetzt lass ich mich für dem ganzen Blödsinn hier auch schon anstecken:
Es ist eine geometrische Verteilung, keine exponentail:
https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Verteilung
da die verteilung https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung
t.
"Sie wird als Modell vorrangig bei der Beantwortung der Frage nach der Dauer von zufälligen Zeitintervallen benutzt, wie z. B.
[...]

Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen."

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@jd139
Zu deiner Information : der Nutzer " pleindespoir " ist ein " Troll ".
Seit ca 1 1/2 Wochen gibt er sein Halbwissen in allen möglichen
Diskussionsbeiträgen kundt.
" Trolle " machen dies um andere möglichst lange in
eine sinnlose Diskussion  zu verwickeln.
Ich habe den Forumsbetreiber bereits gebeten " pleindespoir "
zu sperren.