4. Eckpunkt eines Drachenvierecks berechnen!

Question

Gegeben sind 3 Eckpunkte eines Drachenvierecks A \( (-8 ;-2 ; 4), \quad B(-3 ; 3 ; 5), \quad C(0 ; 2 ; 4) \)
Man berechne den vierten Eckpunkt D. Hinweis: Finden Sie zuerst heraus, welche der 4 Eckpunkte gegeben sind.

  kann ich vielleicht  so machen,

AC = BD und D herauskriegen ??

danke : -)

Comments

AC = BD

Das bedeutet die Diagonalen sind gleich lang und haben die gleiche Richtung. Kann das stimmen?

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Das ist schon eine Aufgabe aus der Vektorgeometrie. Oder?

Vektoriell gilt deine Gleichung sicher nicht.

AC = BD

AC steht senkrecht auf BD und die beiden sind nicht unbedingt gleich lang.

In einem Drachenviereck gilt aber betragsmässig entweder

 |AB| = |AD| und |CB| = |CD|

oder 

|AB| = |BC| und |AC| = |CD|

|AB|^2 = 5^2 + 5^2 + 1^2 = 51

|BC|^2 = 3^2 + 2^2 + 1^2 = 14 ≠ 51

Somit muss die erste Version gelten.

AC ist die Symmetrieachse des Drachens und:

  |AB| = |AD| und |CB| = |CD|

Also |AD|^2 = 51 und |CD|^2 = 14.

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also bis letztem Satz hab ich verstanden.
aber ist es die Antwort ? oh Gott.. ich bin überfordert

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Nein. Die Rechnung, die du jetzt noch machen musst, habe ich als Antwort beschrieben. Vgl. meine Antwort.

Answer 1

Wir müssen B an der Geraden durch A und C spiegeln.

B' = 2 * (A + (AB * AC) / AC^2 * AC) - B =

B' = 2·([-8, -2, 4] + ([-3, 3, 5] - [-8, -2, 4])·([0, 2, 4] - [-8, -2, 4])/([0, 2, 4] - [-8, -2, 4])^2·([0, 2, 4] - [-8, -2, 4])) - [-3, 3, 5]

B' = [-1, -1, 3]

Comments

leider kann ich es nicht verstehen : (

wenn es möglich wäre, könntest du ein bisschen leichter erklären ?

danke :)

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Probiere meine Formel selber zu verstehen

(AB * AC) / |AC|

Was rechnet man mit (AB * AC) aus. Was passiert wenn ich das durch |AC| teile?

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hab (AB * AC) / |AC| verwendet und kam 6,711   also, 60 / 8,94

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Wichtiger ist was du da ausgerechnet hast. Was das geometrisch bedeutet? Das Ergebnis davon ist eigentlich erstmal völlig uninteressant.

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ach so, AC kein Vektor..
daher ergibt sich (7,5  15 0 ) richtig ??

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AB und AC sollen in diesem Zusammenhang Vektoren sein. |AC| ist die Länge des Vektors von A nach C.

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Habe ich falsch gemacht ?

ohh. ich krieg das nicht hin.

AB * AC = a1b1 + a2b2 + a3b3 oder???

vielen Dank, dass du vesuchst , mir zu helfen.

aber sowas hab ich nicht gelernt. :(

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MatheCoach : wenn du   Wichtiger ist was du da ausgerechnet hast. Was das geometrisch bedeutet? berücksichtigst, kommst du sicher auf das richtige Ergebnis.

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so ,, Vek. AB * Vek BD = 0 , da die Orthogonal sind..

Schönen Abend noch !

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@hj210: Ja ich sag ja man vertut sich da leicht. ich habe ein A vergessen.

Ich habe es mal nachgebessert.

P' = 2 * (A + (AP * AB) / AB² * AB) - P

Dies ist also eine Formel zur Spiegelung eines Punktes P an einer Geraden durch A und B. Sieht da irgendjemand noch Vereinfachungspotenzial?

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Sieht da irgendjemand noch Vereinfachungspotenzial?

Ich sehe da ganz im Gegenteil ein gewaltiges Potenzial, die Formel aufzublasen, d.h. in einzelne Rechenschritte zu zerlegen. Kein Mensch kann sich diese Formel merken ! Und wer will schon ständig mit einem dicken Formelbuch unter dem Arm herumlaufen. Was man sich hingegen merken kann (und sollte), ist, welche drei bis vier einfachen Schritte den Weg zur Lösung darstellen, was man dabei macht und wieso man es tut. Der Zahlenrechnung schadet es am Ende nichts, wenn man ein paar Zwischenergebnisse produziert; dieser Weg kann im übrigen auch Rechenfehler vermeiden helfen.

Und Nachfragen der Art   leider kann ich es nicht verstehen : ( wenn es möglich wäre, könntest du ein bisschen leichter erklären ?   würden sich möglicherweise erübrigen

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Ich habe inzwischen meinen Vorschlag durchgerechnet und komme glücklicherweise auf den gleichen Punkt D.

Answer 2

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene E, die senkrecht auf AC steht und B enthält.
Dann E mit (AC) schneiden → Punkt M.
Den Ortsvektor OD von D findest du nun vektoriell so:
OD = OB + 2*BM

Comments

AC = (8, 4, 0)

Ebene: E: 8x + 4y + 0z + d = 0

B(-3,3,5) einsetzen

-24 + 12 + d = 0

d=12

E: 8x + 4y + 12 = 0

(AC) : r = (0,2,4) + t(8,4,0) = (8t, 2 + 4t, 4)

in E einsetzen

8*8t + 4*(2+4t) + 12= 0

64 t + 8 + 16t + 12 = 0

80t = -20

t = -1/4

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M(8*(-1/4), 2 - 1, 4) = M(-2,1,4)

Nun folgt noch:

OD = OB + 2*BM 

OD = (-3,3,5) + 2 (1,-2,-1) = (-3+2, 3 - 4, 5-2) = (-1, -1, 3)

Ich hoffe, ich hab mich da nicht allzu oft verrechnet. D(-1,-1,3).

Bitte selbst nachrechnen. Weg ist in der Antwort (oben) erklärt.