Extremwertaufgaben lk. Achsenparalleles Rechteck soll maximale Fläche haben.

Question

Hey leuts :)),

habe j´hier eine Aufgabe welche ich nur teilweise berechnen konnte so geagt habe ich von beiden Aufgaben jeweils die a) gemacht aber nicht die b) könnt ihr bitte die b) berechnen , muss mir die genau anschauen damit ich das verstehe (ist bei mir immer so) ist auch keine Hausaufgabe nur Übung für die klausur.

Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f(x) = -\( \frac{1}{3} x^{2}+4\). Dem Graphen wird ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben, wobei eine Seite auf der x-Achse liegt und der Punkt P einer der Eckpunkte des Rechtecks ist. Wie müssen die Koordinaten des Punktes P gewählt werden,

a) damit der Umfang des Rechtecks maximal wird? Berechnen Sie auch den maximalen Umfang.

b) damit der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird? Berechnen Sie auch den maximalen Flächeninhalt.

Aufgabe 3: Gegeben ist die Parabel \(f(x)=0,25x^{2}+2x+3,25\)

a) Berechnen sie die Achsenschnittpunkte und skizzieren Sie die Parabel in ein Koordinatensystem.

b) P sei ein Punkt der Parabel im zweiten Quadranten. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch diesen Punkt bilden mit den Koordinatenachsen ein Rechteck. Berechnen Sie die Koordinaten von P so, dass der Flächeninhalt maximal wird und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an.

 danke schon Voraus,

euer Albert

Comments

Hast Du eine Idee, wie man die Achsenschnittpunkte einer Parabel berechnet ?

oder was das überhaupt bedeutet ?

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Hier stand nichts Schlaues.

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@Lu
der Nutzer " pleinsdespoir " pöbelt nur noch in diesem Forum.
Ich habe Kai schon gebeten den Nutzer auszusperren.

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https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Absatz 9

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@Lu
Ich habe deine Antwort nicht analysiert. Sie kommt mir etwas
komisch vor.  Siehe meine Antwort.
mfg Georg

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Georg: Danke. Hatte die Frage nicht genau gelesen.

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hey ich habe mir alles angeguckt aber voher kommen die zahlen vor der funktionsgleichung also z.b.erste Aufgabe:U(x): ( x + f ( x ) ) * 2

oder:F ( x ) = 2 * x * f ( x ) usw. woher kommen die die zahlen (z.b.2x) vor der funktionsgleichung f(x)??

aber danke für die schnelle Antwort

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aber wieso denn

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danke für die ganzen Rechnungen

Answer 1

f ( x) =  - 1 / 3 * x^2 + 4
U ( x ) = ( x + f ( x ) ) * 2
U ( x ) = 2 * ( x - 1/3  * x^2 + 4 )
1.Ableitung
U ´( x ) = 2 * ( 1 - 2/3 * x )
U ´( x ) = 2 - 4 /3 * x
Extremwert
2 - 4/3 * x = 0
4/3 * x = 2
x = 6 / 4 = 1.5

b.) Flächeninhalt
F ( x ) = 2 * x * f ( x )
F ( x ) = 2 * x * ( -1 /3 * x^2 + 4 )
F ( x ) = - 2/3 * x^3 + 8 * x
1.Ableitung
F ´( x ) = - 2 * x^2 + 8
Extremwert
- 2 * x^2 + 8 = 0
x^2 = 8 / 2
x = 2
F ( 2 ) = 2 *  2  * ( - 1/3 * 2^2 + 4 )
F ( 2.828 ) = 4 * ( -1 / 3 * 4 + 4 )
F ( 2.828 ) = 10  2/3 = 10.6666

Der Rest kommt später

Comments

Hallo Albert,
  deine Fragen fallen unter Extremwertaufgaben. Hat dich meine
Antwort weitergebracht ? Dann begebe ich mich jetzt mal an die
andere Frage.
mfg Georg
Nachtrag : na ja ich sehe gerade " Extremwertaufgabe " kam in
der Überschrift schon vor.

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f ( x ) = 0.25 * x^2 + 2 * x + 3.25
3 a.)
y-Achsenabschnitt : x = 0
f ( 0 ) = 0.25 * 0^2 + 2 * 0 + 3.25
f ( 0 ) = 3.35
( 0  | 3.25 )
Nullstellen : y = 0
0.25 * x^2 + 2 * x + 3.25 = 0  | : 0.25
x^2 + 8 * x + 13 = 0  | quadratische Ergänzung oder pq-Formel
x^2 + 8 * x + 4^2 = -13 + 16
( x + 4 )^2 = 3
x + 4 = ±√ 3
x = ± 1.732 - 4
x = -2.268
x = -5.732

3 b.)
A ( x ) = x * f ( x ) = x * ( 0.25 * x^2 + 2 * x + 3.25 )
A ( x ) = 0.25 * x^3 + 2 * x^2 + 3.25 * x
A ´( x ) = 0.75 * x^2 + 4 * x + 3.25
Extremwert
0.75 * x^2 + 4 * x + 3.25 = 0  | : 0.75
x^2 + 5.333 * x + 4.333 = 0
x^2 + 5.333 * x + 2.666^2 = - 4.333 + 7.108
( x + 2.666)^2 =  2.775
x + 2.666 = ± 1.666
x = -1
x = -4.331

Der Punkt mit dem x Wert = -4.331 liegt nicht im
2.Quadranten. Also ist x = -1 die einzige Lösung.
Es wäre noch  zu zeigen das bei x = -1 ein Maximum
für die Fläche vorliegt.
Noch ein Punkt zu beachten. Die Fläche muß
absolut = in Betragsstriche gesetzt werden.

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Es wäre noch  zu zeigen das bei x = -1 ein Maximum für die Fläche vorliegt.
...was einigermaßen schwer fallen dürfte, wie man auf den ersten Blick auch ohne Rechnung sofort sieht.

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@hj213
weil es links vom Scheitelpunkt im 2.Quadranten noch bis
x = -∞  weitergeht ?

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Hier doch nochmals meine eben gelöschte Skizze (rote Kurve). Betragsmässig grössere x links muss man wohl ausser acht lassen, da sonst die Fläche unbeschränkt gross ist.

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Richtig. Schon in der Frage steckt ein Fehler. War mir auch
schon aufgefallen, dann habe ich die Berechnung eines
Punktes P als Extremwertaufgabe durchgeführt.

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hey ich habe mir alles angeguckt aber voher kommen die zahlen vor der funktionsgleichung also z.b.erste Aufgabe:U(x): ( x + f ( x ) ) * 2

oder:F ( x ) = 2 * x * f ( x ) usw. woher kommen die die zahlen (z.b.2x) vor der funktionsgleichung f(x)??

aber danke für die schnelle Antwort

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Hallo Einstein,

du hast doch geschrieben du hättest Aufgabe 1 a.)
berechnet. Dann müßten dir die Sachverhalte klar sein.

Die Skizze zeigt eine Funktion f ( x ) und ein darin
einbeschriebenes achsenparalleles Rechteck.

Das Rechteck hat die Seiten x und y wobei ich für y auch f (x ) schreiben
kann ( Funktionswert an der Stelle x )

Der Umfang oder die Fläche ergeben sich aus den normalen Formeln.

mfg Georg

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hy ich habe bemerkt das ichdoch ein Fehler bei a) habe ....wieso nimmst du 2*(x+y) wieso nicht 2x *f(x) und x*f(x) ich bin grad verwirrt genauer gesagt woher kommen die Zahlen

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ich habe auch noch kleine Fehler bei mir bemerkt, aber durch die
Fehlerbesprechung wird hoffentlich alles klarer.

Die Skizze ist in so weit nicht richtig als nur die rechte Seite des
des Rechteck eingezeichnet ist. Laut Aufgabe ist soll aber das gesamte
Rechteck, unter der linken und rechten Seite der Parabel, berechnet
werden.

Allzu gravierend ist der Fehler nicht da der Extrempunkt für beide Rechtecke
derselbe ist.

In meiner Antwort habe ich als Extrempunkt x = 6 / 4 = 1.5 angegeben.
x = - 1.5 wäre der zweite Extrempunkt.  Der Funktionswert an der Stelle
ist f ( 1.5 ) =  - 1 / 3 * (1.5)² + 4  = 3.25
Das Rechteck hat den Umfang : untere Seite auf der x -Achse = 2 * 1.5 = 3.
3 + 3.25 + 3 + 3.25 = 2 * ( 3 + 3.25 ) = 12.5

b. )  Meine Orginalrechnung dürfte stimmen.
x = 2 , f ( 2 ) = - 1 / 3 * (2)² + 4  = 2  2/3
A ( x ) = x * f ( x ) = x * y = 2 *  2  2/3  = 5  1/3
Das Rechteck links der y-Achse hat dieselbe Fläche also
F ( gesamt ) = 2 * A = 10  2/3

Die Formeln für Fläche und Umfang eines Rechtecks dürften doch
geläufig sein.

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Allzu gravierend ist der Fehler nicht da der Extrempunkt für beide Rechtecke derselbe ist.
Dieser Satz sollte für den Umfang lauten "Dieser Fehler ist insofern gravierend, als der Extrempunkt für beide Rechtecke nicht derselbe ist"

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@hj210 Dein Fehlerhinweis stimmt.
@Albert Der Extremwert für den Umfang muß anders berechnet
werden.
U ( x ) = ( 2 * x + f ( x ) ) * 2
1.Ableitung bilden und dann den Extremwert berechnen.

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aber wieso denn

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Albert, irgendetwas scheint dir nicht klar zu sein.
Ich weiß allerdings nicht was.
Ich werden morgen nochmals eine korrekte Skizze hier
einstellen und dann einen begleitenden Text schreiben.

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Wir fangen jetzt mit der Aufgabe nocheinmal von vorne
an. f ( x ) = - 1/3 * x^2 + 4. Dies ist eine nach unten geöffnete
Parabel.

Hier eine symbolische Skizze

Wir gehen jetzt Schritt für Schritt vor.
Eingezeichnet wurd ein Rechteck.
Darunter stehen die Formeln für Umfang und Fläche.

Sind die Formeln für dich nachvollziehbar ?
Bitte teile mir jetzt mit ob ja oder nein ?
Falls nein : dann bitte deine Formeln mitteilen.

---

danke hab mein fehler ekannt :))

Answer 2

@ Fragesteller:

https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Absatz 4 und 7

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