Klausurübung zum Thema Funktionenscharen

Question

Ich habe eine Klausurübung zum Thema Funktionenscharen bekommen, kriege die Aufgaben aber nicht gelöst:

Die Zufluss-/Abflussgeschwindigkeit des Wassers in einem Stausee einer Bergregion wird permanent durch Sensoren an den Schleusen erfasst. Aus den erhobenen Messdaten lässt sich diese momentane Änderungsrate der Wassermenge im Becken in den ersten Stunden nach einem Regenfall (stark vereinfacht) durch die Funktionenschar f_a mit der Gleichung f_a(t) = 2,5t³ - 7,5at² + 5a²t (0 ≤ t ≤ 2a) modellieren (t:Zeit in Stunden; f_a(t):momentane Änderungsrate in m³/h), wobei a größer 0 ein Wert ist, der von der Regenstärke und -dauer abhängig ist.

a) Die Nullstellen von f_a berechnen. Hier habe ich einfach die Gleichung 0 gesetzt. Ich komme aber nicht weiter, da so eine komische Zahl rauskommt, die man nicht weiter vereinfachen kann. Also: 0 = 2,5t³ - 7,5at² + 5a²t. Ich habe hier ein t ausgeklammert: 0 = t(2,5t² - 7,5at + 5a²). Dann wäre hier t₁=0 und 2,5t² - 7,5at + 5a² = 0. Ich habe danach einfach  durch 2,5 gerechnet. Daraus ergibt sich t² - 3at + 2a² = 0. Danach habe ich die pq-Formel angewendet. Hier komme ich aber einfach nicht weiter...

Was ist ihre Bedeutung, sowie die Bedeutung positiver und negativer Funktionswerte von f_a im Sachzusammenhang?

b) Zeige rechnerischfür a = 7, dass der Zeitraum, in dem die Zuflussgeschwindigkeit mindestens  200 m³/h beträgt, länger als 4 Stunden ist. Hier habe ich zuerst a = 7 in die Gleichung gesetzt. Danach habe ich t = 4 eingesetzt. Als Ergebnis habe ich 300 raus. Ist das so richtig gerechnet worden?

c) Bestimme in Abhängigkeit von a, zu welchem Zeitpunkt t die Menge des Wassers im Becken am stärksten abnimmt und geben Sie diesen Zeitpunkt für a = 7 an. Hier habe ich keinen Ansatz, da ich die Aufgabe nicht verstanden und gelöst bekommen habe. Auch hier bitte ich euch mir zu helfen.

d) Bestimme den Wert von a, für den zum Zeitpunkt t = a/3 die Zuflussgeschwindigkeit 200 m³/h beträgt. Ich habe jetzt einfach für t a/3 eingesetzt. Auch hier komme ich nicht weiter, da komischen Zahlen wieder rauskommen. Also: 2,5(a/3)³ - 7,5a(a/3)² + 5a²(a/3). Vereinfacht habe ich raus 5a³/3 - 15a²/9 + 7,5a/27. Wie schon gesagt komme ich hier nicht weiter...

e) Bestimme für a = 7 den Zeitpunkt, an dem der Wasserspiegel am höchsten bzw. niedrigsten ist. Das war ziemlich einfach: Den Hoch-bzw.Tiefpunkt ausrechen. Als Hochpunkt habe ich HP(2,96/330) und als Tiefpunkt TP(11,04/-330).

Danach die letzte Aufgabe:

Die Funktionenschar F_a mit der Gleichung F_a(t) = 0,625t⁴ - 2,5at³ +2,5a²t² (0≤t≤2a) gibt die Wassermenge in m³ an, die bis zu einem Zeitpunkt t insgesamt zu-/abgeflossen ist, d.h. die Wassermenge, die zu diesem Zeitpunkt mehr (oder weniger) im Becken ist als zu Beginn.

f) Welcher Zusammenhang besteht zwischen f_a und F_a? Berechne F₇(14). Deute und erläutere das Ergebnis im Sachzusammenhang. Auch hier habe ich keinen Ansatz, hoffe aber trotzdem das ihr mir helfen könnt.

Ich bedanke mich schonmal

Gruß

Answer 1

a) Die Nullstellen von fa berechnen.

fa(t) = 2.5·t^3 - 7.5·a·t^2 + 5·a^2·t = 0

2.5·t·(t^2 - 3·a·t + 2·a^2) = 0 Hier kann man prima den Satz von Vieta anwenden.

2.5·t·(t - a)·(t - 2·a) = 0

t = 0 oder t = a oder t = 2·a

Comments

b) Zeige rechnerischfür a = 7, dass der Zeitraum, in dem die Zuflussgeschwindigkeit mindestens  200 m^3/h beträgt, länger als 4 Stunden ist.

f7(t) = 2.5·t^3 - 52.5·t^2 + 245·t = 200

t = 1.034 oder t = 5.260 oder t = 14.71

t = 5.260 - 1.034 = 4.226 > 4

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Paar Fragen hätte ich aber noch: Wie geht der Satz von Vieta? Warum rechnest du bei b) 5,260-1,034?

Kannst du mir bei den anderen Aufgabe auch helfen?

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Suche mal bei Wikipedia nach dem Satz von Vieta. Aber selbst wenn du den nicht kennst sollte man sehen das für t = a eine Nullstelle existiert. Dann könnte man eine Division machen.

b) 5,260-1,034

Es geht ja um den Zeitraum wo die Zuflussgeschwindigkeit >= 200 ist. Daher muss ich hier die Differenz der Zeiten nehmen. 

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und die anderen Aufgaben, wo ich einen Ansatz geschrieben habe? Könntest du mir auch bei diesen helfen?

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c) Bestimme in Abhängigkeit von a, zu welchem Zeitpunkt t die Menge des Wassers im Becken am stärksten abnimmt und geben Sie diesen Zeitpunkt für a = 7 an.

fa(t) = 2.5·t^3 - 7.5·a·t^2 + 5·a^2·t

fa'(t) = 7.5·t^2 - 15·a·t + 5·a^2 = 0

t = 0.4226·a oder t = 1.577·a

Die stärkste Abnahme ist zum Zeitpunkt 1.577·a bzw. 1.577·7 = 11.039 h.

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d) Bestimme den Wert von a, für den zum Zeitpunkt t = a/3 die Zuflussgeschwindigkeit 200 m^3/h beträgt.

fa(a/3) = 25/27·a^3 = 200

a = 6

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e) Bestimme für a = 7 den Zeitpunkt, an dem der Wasserspiegel am höchsten bzw. niedrigsten ist.

Das sind die Nullstellen der Funktion

t = 0 oder t = a oder t = 2·a

Bei t = 0 und t = 14 ist das Wasser am niedrigsten bei t = 7 am höchsten.

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f) Welcher Zusammenhang besteht zwischen fa und Fa? Berechne F7(14). Deute und erläutere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Fa(t) = ∫ (0 bis t) fa(x) dx

F7(14) = 0.625·(14)^4 - 2.5·(7)·(14)^3 + 2.5·(7)^2·(14)^2 = 0

Im Zeitraum von t = 0 bis t = 14 ist genau so viel Wasser zugeflossen wie abgeflossen. Daher ist der Wasserstandspegel bei t = 0 und t = 14 gleich.

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Vielen Dank, naja muss eben noch ein bisschen üben...

Die Frage verstehe ich aber auch nicht : Was ist ihre Bedeutung, sowie die Bedeutung positiver und negativer Funktionswerte von f_a im Sachzusammenhang?

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Dann denk mal nach was fa(t) angeibt und was es bedeutet wenn es positiv ist bzw. was es bedeuten kann wenn es negativ ist.

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Naja f_a(t) gibt die momentane Änderungsrate in m³/h an... Aber was die Bedeutung der Nullstellen ist weiß ich nicht. Muss man bei e) nicht die Extrempunkte ausrechnen? Könntest du mir auch bei den Aufgaben die Rechenschritte erklären?

Danke