Zähler- und Nennerpolynom von f(x)=(2x^5 - 15x^4+ …)/(-2x^3 + 6x^2+ 2x-6) in faktorisierter Form darstellen.

Question

$$ f(x)=\frac{2 x^{5}-15 x^{4}+36 x^{3}-26 x^{2}-6 x+9}{-2 x^{3}+6 x^{2}+2 x-6} $$

a) Bestimmen Sie die faktorisierten Darstellungen des Zähler- und des Nennerpolynoms und bestimmen Sie daraus die "gekürzte Funktion" \( g(x) \).

b) Bestimmen Sie sämtliche Null- und Polstellen der "gekürzten Funktion" \( g(x) \).

c) Zerlegen Sie \( g(x) \) in eine Summe aus einem Polynom und einer rationalen Funktion, deren Zählergrad kleiner ist als ihr Nennergrad.

Answer 1

Du musst auch mehrfache Nullstellen angeben (deswegen wollte ich bei der anderen Aufgabe unbedingt, dass Du mir die faktorisierte Form nennst.

Das sieht hier so aus:

$$f(x) = \frac{2x^5-15x^4+36x^3-26x^2-6x+9}{-2x^3+6x^2+2x-6} = \frac{2(x-3)^2(x-1)^2(x+\frac12)}{-2(x-3)(x-1)(x+1)}$$

Dabei kommen die Hochzahlen daher, dass eine mehrfache Nullstelle vorliegt.

Gekürzt sieht das dann so aus:

$$g(x) = -\frac{(x-3)(x-1)(x+\frac12)}{(x+1)}$$

Grüße

Answer 2

Aufgabe 69

   ( x-3 ) * ( x -1 ) * ( x + 1/2 )
- ----------------------------------
    ( x + 1 )

a.) Beantwortung durch unknown
b.)  Nullstellen : Zähler = 0 und
ein  Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
( x -3 ) = 0
( x - 1 ) = 0
( x + 1/2 ) = 0
Polstellen
Nenner = 0
( x + 1 ) = 0

Comments

c.) Falls ich die ( verklausulierte ) Frage richtig verstanden habe
wird dies durch eine Polynomdivision von g erreicht.

Als Ergebnis ergibt sich
- [ x^2  -  9 * x + 11/2  -  8 / ( x + 1) ]
-x^2  +  9 * x - 11/2  +  8 / ( x + 1)
wobei die Schreibweise jetzt übersichtlicher wäre
( -x^2  +  9 * x - 11/2  ) +  [ ( 8 * x^0 ) / ( x^1  + 1 ) ] 
Erste Klammer : das Polynom
Zweite Klammer ein Bruch mit Zählergrad < Nennergrad