Asymptotisches Verhalten bestimmen von f(x) = (2x^3 + x)/x^2 und g(x) = (x^3 + x + 1)/(x+2)

Question

Aufgabe 70

Bestimmen Sie den Definitionsbereich und das asymptotische Verhalten für \( x \rightarrow \pm \infty  \)  für die Funktionen

a) \( f(x)=\frac{2 x^{3}+x}{x^{2}} \)
$$ g(x)=\frac{x^{3}+x+1}{x+2} $$

 Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe 70 also definitionsbereich auszurechnen muss ich den unteren Teil der Funktion =0 setzen aber den zweiten Teil verstehe ich leider nicht

Comments

Im Bild ist nicht Aufgabe 60 zu sehen...

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g(x) verhält sich asymptotisch wie

k(x) = x^2 -2x + 5

Vgl. 2. 'alternate form' hier: https://www.mathelounge.de/149660/asymptotisches-verhalten-bestimmen-von-f-x-2x-x-und-x-x-3-x-1-x-2

k(x) bekommst du mit einer Polynomdivision: Zähler : Nenner.

Wegen k bekommst du lim g(x) = + ∞ für x gegen ±∞.

Answer 1

Hi,

den Definitionsbereich hast Du richtig erkannt.

Für das asymptotische Verhalten schaue Dir an, was passiert, wenn das ganze gegen unendlich läuft.

Klammere dafür je im Zähler und Nenner die höchste Potenz aus.

a)

$$f(x) = \frac{x^3(2+\frac{1}{x^2})}{x^2} = x(2+\frac{1}{x^2})$$

Wenn Du das jetzt im Limes anschaust, wirst Du feststellen, dass für x→∞ auch f(x)→∞ geht.

Für x→-∞ geht das ganze gegen f(x)→-∞

Beachte dabei, dass der zweite Summand der Klammer gegen 0 geht.

Probiere die b selbst ;).

Grüße

Comments

Stimmt das so

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Nope,

Du musst hier auch im Nenner das x ausklammern und Du wirst stehen haben:

$$\frac{x^3(1+\frac{x}{x^3}+\frac{1}{x^3})}{x(1+\frac2x)}$$

Das kannst Du vereinfachen (kürzen) zu:

$$\frac{x^2(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3})}{1+\frac2x}$$

Der Nenner verfällt zu 1, der Zähler verbleibt zu x^2, wenn man es im Grenzwert betrachtet.

Wir haben also für x→±∞ ein Streben für f(x)→∞

Ok? ;)

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Die Funktion verhält sich wegen

$$ f(x) = \frac{2x^3+x}{x^2} = 2x+\frac{1}{x} $$

asymptotisch wie

$$ g(x) = 2x. $$