Bestimmtes Integral. Eingeschlossene Fläche zwischen Gerade und Parabel berechnen.

Question

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen \( g \) und \( f \) eingeschlossen wird. Skizzieren Sie dazu auch die beiden Graphen.

a) \( g: x \rightarrow \frac{1}{2} x+4 \quad f: x \rightarrow 0,2 x^{2}+4 \)

b) \( g: x \rightarrow x-3 \quad f: x \mapsto-0,5 x^{2}+x+1,5 \)

Ansatz:

Erstmal muss man doch die Schnittstellen berechnen, dann die Differenzfunktion erstellen und dann vom Integral die zweite Schnittstelle minus der ersten.

Comments

Du weisst ja schon ganz genau, wie du vorgehen willst.

Für die Schnittstellen:

Setze f und g gleich

1/2 x + 4 = 0.2 x^2 + 4         |

1/2 x = 0.2 x^2       |*10

5x = 2x^2

0 = 2x^2 - 5x = x ( 2x -5)

Schnittstellen x1 = 0 und x2 = 2.5.

Bitte nachrechnen und dann mal möglichst weit selber weiterrechnen.

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also schnittstellen sind richtig. jetzt steht bei differenzfunktion d(x)=f(x)-g(x)  also rechne ich jetzt 0,5x+4-0,2x²+4?

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Rechne:

d(x) = 0,5x+4- (0,2x²+4) 

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-2,5 kommt raus und jetzt rechne ich also das integral von 2,5 und -2,5 aus ja?

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d(x) = 0,5x+4- (0,2x²+4)  

= 0.5x - 0.2x^2

Nein. Die Schnittstellen sind ja x1 = 0 und x2 = 2.5. Das sind die Integrationsgrenzen.

F = ∫ d(x) dx von 0 bis 2.5

= ∫ 0.5x - 0.2x^2 dx von 0 bis 2.5

Nun erst mal eine Stammfunktion bestimmen und dann Grenzen einsetzen

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Stammfunktion 0,25x²-0,2/3x³

als integral habe ich 0,52083333333333333 raus

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Sehr gut. Ich habe 0.520833

Answer 1

Für die Schnittstellen:

Setze f und g gleich

1/2 x + 4 = 0.2 x² + 4         |

1/2 x = 0.2 x²       |*10

5x = 2x²

0 = 2x² - 5x = x ( 2x -5)

Schnittstellen x1 = 0 und x2 = 2.5.

d(x) = 0,5x+4- (0,2x²+4)   

= 0.5x - 0.2x²

Nein. Die Schnittstellen sind ja x1 = 0 und x2 = 2.5. Das sind die Integrationsgrenzen.

F = ∫ d(x) dx von 0 bis 2.5

= ∫ 0.5x - 0.2x² dx von 0 bis 2.5

= 0,25x²-0,2/3x³       |₀^2.5

= 0.520833

Zusammengeschnitten aus den Kommentaren.

Answer 2

Hi,

ich mach Dir mal die a) vor und die b) machst Du selber?

g:x 1/2x+4

f:x 0,2x²+4

Gleichsetzen:

1/2x+4=0,2x²+4 |-0,2x², -4

-0,2x²+1/2x=0 |:(-0,2), dann pq-Formel

x₁= 2,5

x₂= 0

Das sind nun deine Integralgrenzen:

∫₀^2,5 -0,2x²+1/2x dx = [-1/15x³+1/4x²]^2,5₀ = 25/48 -0 = 25/48 FE