Welcher Betrag ist nach 5 Jahren auf Annas Konto?

Question

Anna erhält 200.000 €. Sie legt das Geld zum 1.01. auf der Bank zu einem Zinssatz von 2 % pro Jahr an.

a) Welcher Betrag ist nach 5 Jahren auf dem Konto? 

b) Nach wie viel Jahren ist das Kapital auf dem Konto erstmals größer als 255.000 €? 

c) Anna beschließt das Geld so lange liegen zu lassen bis sie sich nur von den Zinsen jedes Jahr einen Urlaub im Wert von 5.000 € leisten kann ohne das dann zur verfügung stehende Kapital zu verringern. Wie viel Kapital muss bei dem Zinssatz von 2 % mindestens auf dem Konto sein wenn sie das erste mal in den Urlaub fährt? 

Answer 1

200.000€, 2% Zinsen pro Jahr

a) Welcher Betrag ist nach 5 Jahren auf dem Konto? 
Nach einem Jahr 200.000€ * 1,02,
nach zwei Jahren 200.000€ * 1,02 * 1,02 = 200.000€ * 1,02²,
nach drei Jahren 200.000€ * 1,02³,
nach vier Jahren 200.000€ * 1,02⁴,
nach fünf Jahren 200.000€ * 1,02⁵ ≈ 220.816,16€

b) Nach wie viel Jahren ist das Kapital auf dem Konto erstmals größer als 255.000 €?

200.000 * 1,02^x = 255.000 | : 200.000

1,02^x = 255.000/200.000 = 1,275 | ln

x = ln(1,275)/ln(1,02) ≈ 12,27

Nach ca. 12,27 Jahren sind ca. 255.000€ auf dem Konto.

Gerundet also:

Nach 13 Jahren sind mehr als 255.000€ auf dem Konto.

Probe:

200.000 * 1,02¹² ≈ 253.648,36

200.000 * 1,02¹³ ≈ 258.721,33

Rest folgt, so hoffe ich :-)

Besten Gruß

Comments

Hier der Rest:

c) Anna beschließt das Geld so lange liegen zu lassen bis sie sich nur von den Zinsen jedes Jahr einen Urlaub im Wert von 5.000 € leisten kann ohne das dann zur verfügung stehende Kapital zu verringern. Wie viel Kapital muss bei dem Zinssatz von 2 % mindestens auf dem Konto sein wenn sie das erste mal in den Urlaub fährt?

2% sollen also 5.000€ sein.

100% = 250.000€

200.000 * 1,02^x = 250.000 | : 200.000

1,02^x = 250.000/200.000 = 1,25 | ln

x = ln(1,25)/ln(1,02) ≈ 11,27

Nach ca. 11,27 Jahren sind 250.000€ auf dem Konto und bringen jährlich 5.000€ Zinsen.

Gerundet:

Nach 12 Jahren kann sie also jährlich 5.000€ abheben, ohne das Kapital zu verringern. - FALSCH, s.u.

Probe:

200.000 * 1,02¹¹ ≈ 248.674,86

200.000 * 1,02¹² ≈ 253.648,39

Hebt sie jetzt 5.000€ ab, so hat sie noch 248.648,39€, und diese werden innerhalb des nächsten Jahres wieder

zu 248.648,39€ * 1,02 = 253.621,36€ - offensichtlich eine Verringerung des Kapitals.

Also muss sie 13 Jahre warten: 

200.000 * 1,02¹³ ≈ 258.721,33€

258.721,33€ - 5.000€ = 253.721,33€

253.721,33€ * 1,02 ≈ 258.795,76€

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Habe noch eine Frage zum Logarithmus.
Woher weiß ich welchen Logarithmus ich brauche. Warum hier den natürlichen? 

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Der natürliche Logarithmus wird hier nur deshalb benutzt, weil er auf dem Taschenrechner vorhanden ist.

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Welchen Logarithmus Du benutzt, ist prinzipiell egal.

Du könntest auch den Zehnerlogarithmus nehmen und kämst auf das gleiche Ergebnis :-)

Wie Gast jd139 schon schrieb: Der natürliche Logarithmus ist wahrscheinlich auf jedem Taschenrechner vorhanden, der 10er Logarithmus vielleicht nicht.