100 Besucher im Kino mit 100 Plätzen

Question

Aufgabe:

Ein Kino mit 100 Plätzen ist ausverkauft. Die Karten sind Platzkarten, nummeriert von 1 bis 100. Die Besucher kommen einer nach dem anderen. Der erste hat seine Eintrittskarte verloren und setzt sich auf irgendeinen freien Platz. Jeder der danach kommt, setzt sich auf seinen Platz wenn dieser noch frei ist und setzt sich auf irgendeinen freien Platz, wenn sein Platz besetzt ist.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit sitzt der erste, der zweite, der hundertste Besucher auf seinem eigenen Platz ?

Problem/Ansatz:

Für den ersten habe ich ein Hundertstel raus, den Rest weiß ich nicht.

Kann jemand helfen ? Vielen Dank, Bettina

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Kleine Hilfe:
Wenn der Erste eine Wahrscheinlichkeit von 1/100 hat, dann ist ein Platz von 100 schon belegt, somit sind nur noch 99 Plätze frei.

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vgl. auch https://www.mathelounge.de/899745

Answer 1

Hallo Bettina,

die Wahrscheinlichkeit für den 1.Besucher auf seinem Platz
zu sitzen ist 1 zu 100. 1/100 oder 1 %
Für den 2.Besucher : in 1 von 100 Fällen sitzt der erste Besucher
auf dem Platz des 2.Besuchers. Die Gegenwahrscheinlichkeit ist
99 von 100  für den 2.Besucher das sein Platz noch frei ist. 99 %
Auch für den 3.Besucher müßte dies gelten da die Wahrscheinlichkeit
das Besucher 1 auf dem Platz von Besucher 3 sitzt wieder 1 % beträgt.
Dies dürfte für alle weiteren Besucher bis 100 gelten.
Nachtrag
Ich glaube es wird ab Besucher 3 doch komplizierter
1.) Besucher 1 setzt sich auf Platz von 3 oder
2.) Besucher 1 setzt sich auf Platz von 2 und dieser auf Platz von 3
Mir wird es zu kompliziert.
ich hoffe ich habe dir etwas weiterhelfen können.

Comments

Die Frage sah unscheinbar aus. Hatte es aber in sich.
Ich habe nachgedacht und meine Folgendes stimmt

1.Besucher 99 %
2.Besucher 99 %  ( 1 - 1/100 )
3.Besucher 98.99 %  ( 1 - 1/100  - 1/ ( 100 * 99 ) )
4.Besucher 98.99 %  ( 1 - 1/100  - 1/ ( 100 * 99 ) - 1/ ( 100 * 99 *98 ) )
Es tut sich also nichts mehr.
100.Besucher 98.99 %

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Danke Georg, deine Lösung für den zweiten Besucher ist ja gar nicht so schwer. Der Rest soll angeblich auch ganz leicht sein, aber ich komm nicht drauf. Kann noch jemand helfen?

Ich sehe gerade, dass sich unsere Beiträge überschnitten haben. Ich werde mir das mal in Ruhe ansehen.

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@ Georgborn :  Der Beitrag ist ein Schmarrn.

Zitat :  Es tut sich also nichts mehr. 100.Besucher 98.99 %
Es tut sich eine ganze Menge. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit für den 100. Besucher 50%.

Ich habe nachgedacht  ...musst du wohl noch mal machen

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Kann sein das dies ein Schmarrn ist.
Ich bin aber zu diesem Ergbenis gelangt.
Vielleicht gibt es du einmal die Antwort.
Laß mich nicht zu lange warten.

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@hj218 teile doch bitte die Lösung und das warum mit.

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Wenn der Platz des ersten einmal besetzt ist, finden alle nachfolgenden Besucher (inklusive des letzten) ihre Plätze; wenn der Platz des letzten besetzt ist, findet der seinen Platz nicht. Ob der 100. Besucher seinen Platz findet, ist noch unentschieden, solange die Plätze des ersten und des letzten noch unbesetzt sind.
Für jeden Besucher, der seinen Platz besetzt findet, gilt aber, dass er sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf den des ersten wie auf den des letzten setzt.

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Verstehe ich noch nicht. Deine Ausagen
Setzt sich der erste auf den für ihn vorgesehenen Platz
dann finden alle ihre Plätze.
Wenn der letzte seinen Platz besetzt findet hat er halt Pech gehabt

Wenn der letzte seinen Platz sucht ist nur noch 1 Platz frei,
du schreibst aber es wären noch 2 Plätze unbesetzt.
Für mich ist  das jetzt ein Widerspruch.

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Lies dir bitte genauer durch, was ich tatsächlich geschrieben habe.
Vielleicht fällt es dir leichter, die Zusammenhänge zu durchschauen, wenn du dir vorstellst, dass jemand, der seinen Platz besetzt vorfindet, den dort Sitzenden wegschickt, um sich selbst auf seinen Platz zu setzen. An der Verteilung der freien / besetzten Plätze wird dadurch nichts geändert. Der erste macht jetzt eine Odyssee durchs Kino. Er setzt sich dann irgendwann mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf seinen eigenen Platz #1 (der letzte findet seinen Platz) oder auf Platz #100 (der letzte findet seinen Platz nicht).

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@Bettina,
Zitat " Der Rest soll angeblich auch ganz leicht sein,"
Mich würde die Version / Argumentation deiner Bekannten
auch interessieren. Unglücklichsterweise verstehe
ich die Argumentation von hj212 überhaupt nicht.

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Letzter Versuch :
Du schreibst oben :

1.Besucher 99 %  Wahrscheinlich Tippfehler, richtig ist : 1%

2.Besucher 99 %  ( 1 - 1/100 )  richtig, es ist nämlich der Fall, dass sich der erste auf den Platz des zweiten gesetzt hat (1->2) abzuziehen.

3.Besucher 98.99 %  ( 1 - 1/100  - 1/ ( 100 * 99 ) )  richtig, es sind nämlich die Fälle 1->3 und 1->2->3 abzuziehen.

4.Besucher 98.99 %  ( 1 - 1/100  - 1/ ( 100 * 99 ) - 1/ ( 100 * 99 *98 ) ) Das ist falsch.

Wenn du die Formeln von oben in naheliegender Weise fortgeschrieben hast : Du weißt hoffentlich, dass man so etwas nicht ohne Begründung darf. Wenn du die abzuziehenden Fälle betrachtest (1->4 , 1->2->4 , 1->2->3->4), dann hast du den Fall 1->3->4 vergessen. Dieser hat die Wahrscheinlichkeit 1/(100*98) .

Fassen wir die Wahrscheinlichkeiten mal zusammen, dann erhalten wir
2. Besucher : 1 - 1/100 = 99/100
3. Besucher : 1 - 1/100  - 1/ ( 100 * 99 ) = 98/99
4. Besucher : 1 - 1/100  - 1/ ( 100 * 99 ) - 1/ ( 100 * 99 *98 ) - 1/(100*98)= 97/98

Hier drängt sich auch ein Schema auf : 5. Besucher : 96/97 ,  6. Besucher : 95/96 ... 100. Besucher 1/2

Ob das Muster aber stimmt, muss man sich sorgfältig überlegen :

Wenn ein beliebiger Besucher, sagen wir z.B. der 30. ins Kino kommt und seinen Platz besetzt vorfindet, dann ist Platz 1 frei, die 28 Plätze 2 bis 29 sind besetzt und eben auch Platz #30. Das ist ganz genau dieselbe Situation, als ob die Aufgabe für ein Kino mit 100-28 = 72 Plätzen gestellt worden wäre, in welchem unser beliebiger Besucher der zweite ist, der seinen Platz besetzt vorfindet. Nach der Formel für den zweiten ist die Wahrscheinlichkeit dafür 1 - 1/ 72  =  71/72  und das passt nun allerdings ganz genau in das Schema.