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Aufgabe:

In einem Fernbus mit 50 Sitzen hat jeder der 50 Passagiere eine Platzkarte mit seinem reservierten Sitz. Der erste Passagier verliert seine Platzkarte und setzt sich einfach auf einen zufälligen Sitz. Der Reihe nach setzt sich jeder der anderen Passagiere nun auf seinen eigenen Platz, sofern dieser frei ist. Wenn der reservierte Platz jedoch bereits belegt ist, setzt sich ein Passagier auf einen zufälligen freien Sitz. Du bist der letzte Passagier.

Zeige: Die Wahrscheinlichkeit, dass der letzte freie Platz dein reservierter Platz ist, ist gleich 1/2.


Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Danke im Voraus! :)

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Danke erstmal für deine Antwort!

Das habe ich leider nicht gefunden..

Könntest du bitte das hier nochmal beantworten ?

Danke im Voraus! :)

Ich zweifle keinen Moment daran, dass er ganz fest meint, er hätte es 2014 schon brauchbar beantwortet. Dabei übersieht er geflissentlich, dass seine erste Antwort hier aus dem Dezember 2016 stammt.

@döschwo  könntest du mir bitte bei der Aufgabe helfen? :)

Es ist irrelevant, wieviel Sitzplätze der Bus hat.

Es ist irrelevant, wieviel Sitzplätze der Bus hat.

Diese Aussage ist falsch.

Diese Aussage ist falsch.

Diese Aussage ist falsch.

2 Antworten

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Beste Antwort

Der Aufgabensteller wollte verhindern, dass Du die Lösung guhgeln kannst, und wollte Dir ein Bus für ein Flugzeug vormachen.

Unter "lost boarding pass problem" oder "absent-minded passengers" wirst Du fündig.

Avatar von 45 k

Wenn der letzte Passagier in den Bus kommt, ist entweder sein Platz frei, oder der des ersten Passagiers. Die Wahrscheinlichkeit ist 1/2.

Wenn der letzte Passagier in den Bus kommt, ist entweder sein Platz frei, oder der des ersten Passagiers. Die Wahrscheinlichkeit ist 1/2.


Ja das habe ich auch so verstanden


Unter "lost boarding pass problem"


Ich habe die Erklärung Unter "lost boarding pass problem" geschaut und habe das verstanden. Aber die Aufgabe verlangt dass ich das zeigen soll.

Weißt du wie ich das zeigen soll?

Danke im Voraus! :)

Der vergessliche erste Passagier hat drei Möglichkeiten:

a) Er sitzt auf seinen Platz.

b) Er sitzt auf den Platz des letzten Passagiers.

c) Er sitzt auf einen anderen Platz.


Für a) ist die Wahrscheinlichkeit 1/50, und der Platz des letzten Passagiers bliebt frei, da Passagiere 2 bis 49 auf ihre Plätze sitzen.

Für b) ist die Wahrscheinlichkeit 1/50, und der Platz des letzten Passagiers bleibt nicht frei.

Für c) ist die Wahrscheinlichkeit 48/50, und sobald einer der Passagiere 2 bis 49 nicht auf einen Platz 2 bis 49 sondern auf Platz 1 oder 50 sitzt, wofür es je eine Wahrscheinlichkeit von 1/2 gibt, findet keiner der nachfolgenden bis zum 49. Passagier seinen Sitz besetzt vor. Spätestens der 49. Passagier setzt sich auf Platz 1 oder 50. Der letzte Platz bleibt für Passagier 50 frei, wenn Platz 1 gewählt wird.

Wahrscheinlichkeit, dass letzter Platz frei:
1/50*1 + 1/50*0 + 48/50*1/2 = 1/2

Gilt das schon als Beweis was du geschrieben hast?

Ich denke, die Mathematiker möchten das formaler formuliert haben. Ich bin mir auch nicht sicher, ob es als Begründung verständlich ist; Werner gibt an, dass es nicht völlig klar ist. Meine Tochter behauptet das Gegenteil.

Meinst du sollte ich schreiben was du geschrieben hast :

Der vergessliche erste Passagier hat drei Möglichkeiten:

a) Er sitzt auf seinen Platz.

b) Er sitzt auf den Platz des letzten Passagiers.

c) Er sitzt auf einen anderen Platz.



Für a) ist die Wahrscheinlichkeit 1/50, und der Platz des letzten Passagiers bliebt frei, da Passagiere 2 bis 49 auf ihre Plätze sitzen.

Für b) ist die Wahrscheinlichkeit 1/50, und der Platz des letzten Passagiers bleibt nicht frei.

Für c) ist die Wahrscheinlichkeit 48/50, und sobald einer der Passagiere 2 bis 49 nicht auf einen Platz 2 bis 49 sondern auf Platz 1 oder 50 sitzt, wofür es je eine Wahrscheinlichkeit von 1/2 gibt, findet keiner der nachfolgenden bis zum 49. Passagier seinen Sitz besetzt vor. Spätestens der 49. Passagier setzt sich auf Platz 1 oder 50. Der letzte Platz bleibt für Passagier 50 frei, wenn Platz 1 gewählt wird.

Wahrscheinlichkeit, dass letzter Platz frei:
1/50*1 + 1/50*0 + 48/50*1/2 = 1/2


oder das? :


Von diesem Punkt an beziehe ich mich auf Passagiere und die ihnen zugewiesenen Sitzplätze in der Reihenfolge des Einlasses, sodass der erste Passagier, der einsteigt, Passagier 1 ist und der letzte Passagier, der Passagier 50 einsteigt. Ebenso ist Sitzplatz 1 der zugewiesene Sitzplatz von Passagier 1 und so weiter.
Tatsache: Passagier 50 wird entweder auf Sitz 50 (sein zugewiesener Sitz) oder Sitz 1 sitzen.
Ich verstehe diese Beobachtung am besten aus der Perspektive jedes Passagiers, der zwischen dem ersten und dem letzten einsteigt. Für Passagiere 2–49 gibt es zwei Möglichkeiten.
1. Der zugewiesene Sitzplatz des Passagiers ist leer. Sie sitzen auf diesem Sitz.
2. Der dem Passagier zugewiesene Sitzplatz ist besetzt. Sie sitzen zufällig auf einem anderen Platz.
Nachdem jeder dieser Passagiere einen Sitzplatz im Flugzeug eingenommen hat, ist es notwendig, dass der ihm zugewiesene Sitzplatz besetzt ist. Entweder war es vorher nicht belegt (Option 1 oben) und sie sitzen darin, oder es war bereits belegt (Option 2).
Bevor der letzte Passagier das Flugzeug betritt, sind die zugewiesenen Sitzplätze der Passagiere 2–49 besetzt. Zu diesem Zeitpunkt haben 49 Personen (einschließlich Passagier 1) Platz genommen, sodass nur noch ein Sitzplatz frei ist.
Da noch ein Sitzplatz übrig ist und die Sitzplätze 2–49 garantiert besetzt sind, muss der freie Sitzplatz Sitz 1 oder Sitz 50 sein. Es ist unmöglich, dass sowohl Sitz 1 als auch Sitz 50 vor dem Einsteigen des letzten Passagiers besetzt werden, da dies bedeutet, dass alle 50 Sitze im Flugzeug von nur 49 Passagieren besetzt sind.
Fakt: Der letzte Passagier sitzt mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf Platz 1 und Platz 50.
Wenn der letzte Passagier einsteigt, ist der Ausgang des Problems der verlorenen Bordkarte bereits festgelegt, da er nur einen Sitzplatz zur Auswahl hat. Wir müssen uns daher die Entscheidungen ansehen, denen sich die Passagiere 1–49 gegenübersehen.
Für Passagier 1 besteht die gleiche Wahrscheinlichkeit, einen der 50 Sitze zu wählen. Demzufolge ist die Wahrscheinlichkeit, dass er seinen eigenen zugewiesenen Sitzplatz wählt, und die Wahrscheinlichkeit, dass er den zugewiesenen Sitzplatz des letzten Passagiers wählt, gleich.
Die Passagiere 2–49 können nur dann auf Sitz 1 oder 50 sitzen, wenn ihr zugewiesener Sitzplatz besetzt ist. In diesem Fall besteht auch die gleiche Wahrscheinlichkeit, auf jedem verfügbaren Platz zu sitzen.
Obwohl sowohl Sitz 1 als auch Sitz 50 unbesetzt sind, ist es gleich wahrscheinlich, dass einer der Sitze gewählt wird. Nachdem einer dieser beiden Sitze belegt ist, bleibt der andere Sitz garantiert unbesetzt, bis der letzte Fahrgast einsteigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sitzplatz 50 von einem früheren Passagier belegt ist, beträgt 1/2.
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der letzte Fahrgast seinen Sitzplatz frei vorfindet, ebenfalls 1/2.




Danke im Voraus für deine Antwort! :)

Ich denke, Du solltest es so zeigen, wie es Dich am meisten überzeugt.

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Hallo Elena,

Weißt du wie ich das zeigen soll?

Man betrachtet immer die Situation bei denen der Passagier Nr.1 (also der ohne Platzkarte) sich einen Platz aussuchen muss. Das muss er auf jeden Fall am Anfang tuen,wenn er den Bus betritt und jedesmal, wenn er von einem anderen Passagier mit Platzkarte von dessen Platz vertrieben wird.

Jedesmal sind unter den freien Plätzen zwei Plätze besonders. Nämlich sein eigener und der Platz des letzten Passagiers. Und jedesmal ist die Wahrscheinlichkeit für diese beiden Plätze gleich gewählt zu werden. Sie ist am Anfang noch klein, weil noch viele Plätze frei sind, aber für jeden der beiden Plätze gleich, und das ist entscheidend.

Und sobald Passagier Nr.1 auf einen dieser beiden Plätze sitzt, ist die Situation entschieden.

Zur Veranschaulichung kannst Du Dir z.B. ein Baumdiagramm zeichnen und es für einen Bus mit vier oder fünf Plätzen durchspielen.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Danke für deine Erklärung! Ich habe das so gut verstanden.

Die Frage ist, was ist deutlicher als Beweis deins oder das was döschwo geschrieben hat?

Der vergessliche erste Passagier hat drei Möglichkeiten:

a) Er sitzt auf seinen Platz.

b) Er sitzt auf den Platz des letzten Passagiers.

c) Er sitzt auf einen anderen Platz.



Für a) ist die Wahrscheinlichkeit 1/50, und der Platz des letzten Passagiers bliebt frei, da Passagiere 2 bis 49 auf ihre Plätze sitzen.

Für b) ist die Wahrscheinlichkeit 1/50, und der Platz des letzten Passagiers bleibt nicht frei.

Für c) ist die Wahrscheinlichkeit 48/50, und sobald einer der Passagiere 2 bis 49 nicht auf einen Platz 2 bis 49 sondern auf Platz 1 oder 50 sitzt, wofür es je eine Wahrscheinlichkeit von 1/2 gibt, findet keiner der nachfolgenden bis zum 49. Passagier seinen Sitz besetzt vor. Spätestens der 49. Passagier setzt sich auf Platz 1 oder 50.

Wahrscheinlichkeit, dass letzter Platz frei:
1/50*1 + 1/50*0 + 48/50*1/2 = 1/2


Danke im Voraus!

Die Frage ist, was ist deutlicher als Beweis deins oder das was döschwo geschrieben hat?

das solltest vielleicht besser Du selbst beurteilen.

Den Teil c) von döschwo habe ich nicht vollständig verstanden.

Vielleicht kann ich meine Variante noch etwas formaler fassen - aber nicht mehr heute Abend ...

Vielleicht kann ich meine Variante noch etwas formaler fassen - aber nicht mehr heute Abend ...


Könntest du heute deine Variante noch etwas formaler fassen? Sodass das als Beweis gilt

Danke im Voraus! :)

gilt das als Beweis? und ist völlig klar ?


Von diesem Punkt an beziehe ich mich auf Passagiere und die ihnen zugewiesenen Sitzplätze in der Reihenfolge des Einlasses, sodass der erste Passagier, der einsteigt, Passagier 1 ist und der letzte Passagier, der Passagier 50 einsteigt. Ebenso ist Sitzplatz 1 der zugewiesene Sitzplatz von Passagier 1 und so weiter.
Tatsache: Passagier 50 wird entweder auf Sitz 50 (sein zugewiesener Sitz) oder Sitz 1 sitzen.
Ich verstehe diese Beobachtung am besten aus der Perspektive jedes Passagiers, der zwischen dem ersten und dem letzten einsteigt. Für Passagiere 2–49 gibt es zwei Möglichkeiten.
1. Der zugewiesene Sitzplatz des Passagiers ist leer. Sie sitzen auf diesem Sitz.
2. Der dem Passagier zugewiesene Sitzplatz ist besetzt. Sie sitzen zufällig auf einem anderen Platz.
Nachdem jeder dieser Passagiere einen Sitzplatz im Flugzeug eingenommen hat, ist es notwendig, dass der ihm zugewiesene Sitzplatz besetzt ist. Entweder war es vorher nicht belegt (Option 1 oben) und sie sitzen darin, oder es war bereits belegt (Option 2).
Bevor der letzte Passagier das Flugzeug betritt, sind die zugewiesenen Sitzplätze der Passagiere 2–49 besetzt. Zu diesem Zeitpunkt haben 49 Personen (einschließlich Passagier 1) Platz genommen, sodass nur noch ein Sitzplatz frei ist.
Da noch ein Sitzplatz übrig ist und die Sitzplätze 2–49 garantiert besetzt sind, muss der freie Sitzplatz Sitz 1 oder Sitz 50 sein. Es ist unmöglich, dass sowohl Sitz 1 als auch Sitz 50 vor dem Einsteigen des letzten Passagiers besetzt werden, da dies bedeutet, dass alle 50 Sitze im Flugzeug von nur 49 Passagieren besetzt sind.
Fakt: Der letzte Passagier sitzt mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf Platz 1 und Platz 50.
Wenn der letzte Passagier einsteigt, ist der Ausgang des Problems der verlorenen Bordkarte bereits festgelegt, da er nur einen Sitzplatz zur Auswahl hat. Wir müssen uns daher die Entscheidungen ansehen, denen sich die Passagiere 1–49 gegenübersehen.
Für Passagier 1 besteht die gleiche Wahrscheinlichkeit, einen der 50 Sitze zu wählen. Demzufolge ist die Wahrscheinlichkeit, dass er seinen eigenen zugewiesenen Sitzplatz wählt, und die Wahrscheinlichkeit, dass er den zugewiesenen Sitzplatz des letzten Passagiers wählt, gleich.
Die Passagiere 2–49 können nur dann auf Sitz 1 oder 50 sitzen, wenn ihr zugewiesener Sitzplatz besetzt ist. In diesem Fall besteht auch die gleiche Wahrscheinlichkeit, auf jedem verfügbaren Platz zu sitzen.
Obwohl sowohl Sitz 1 als auch Sitz 50 unbesetzt sind, ist es gleich wahrscheinlich, dass einer der Sitze gewählt wird. Nachdem einer dieser beiden Sitze belegt ist, bleibt der andere Sitz garantiert unbesetzt, bis der letzte Fahrgast einsteigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sitzplatz 50 von einem früheren Passagier belegt ist, beträgt 1/2.
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der letzte Fahrgast seinen Sitzplatz frei vorfindet, ebenfalls 1/2.

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