Meinst du sollte ich schreiben was du geschrieben hast :
Der vergessliche erste Passagier hat drei Möglichkeiten:
a) Er sitzt auf seinen Platz.
b) Er sitzt auf den Platz des letzten Passagiers.
c) Er sitzt auf einen anderen Platz.
Für a) ist die Wahrscheinlichkeit 1/50, und der Platz des letzten Passagiers bliebt frei, da Passagiere 2 bis 49 auf ihre Plätze sitzen.
Für b) ist die Wahrscheinlichkeit 1/50, und der Platz des letzten Passagiers bleibt nicht frei.
Für c) ist die Wahrscheinlichkeit 48/50, und sobald einer der Passagiere 2 bis 49 nicht auf einen Platz 2 bis 49 sondern auf Platz 1 oder 50 sitzt, wofür es je eine Wahrscheinlichkeit von 1/2 gibt, findet keiner der nachfolgenden bis zum 49. Passagier seinen Sitz besetzt vor. Spätestens der 49. Passagier setzt sich auf Platz 1 oder 50. Der letzte Platz bleibt für Passagier 50 frei, wenn Platz 1 gewählt wird.
Wahrscheinlichkeit, dass letzter Platz frei:
1/50*1 + 1/50*0 + 48/50*1/2 = 1/2
oder das? :
Von diesem Punkt an beziehe ich mich auf Passagiere und die ihnen zugewiesenen Sitzplätze in der Reihenfolge des Einlasses, sodass der erste Passagier, der einsteigt, Passagier 1 ist und der letzte Passagier, der Passagier 50 einsteigt. Ebenso ist Sitzplatz 1 der zugewiesene Sitzplatz von Passagier 1 und so weiter.
Tatsache: Passagier 50 wird entweder auf Sitz 50 (sein zugewiesener Sitz) oder Sitz 1 sitzen.
Ich verstehe diese Beobachtung am besten aus der Perspektive jedes Passagiers, der zwischen dem ersten und dem letzten einsteigt. Für Passagiere 2–49 gibt es zwei Möglichkeiten.
1. Der zugewiesene Sitzplatz des Passagiers ist leer. Sie sitzen auf diesem Sitz.
2. Der dem Passagier zugewiesene Sitzplatz ist besetzt. Sie sitzen zufällig auf einem anderen Platz.
Nachdem jeder dieser Passagiere einen Sitzplatz im Flugzeug eingenommen hat, ist es notwendig, dass der ihm zugewiesene Sitzplatz besetzt ist. Entweder war es vorher nicht belegt (Option 1 oben) und sie sitzen darin, oder es war bereits belegt (Option 2).
Bevor der letzte Passagier das Flugzeug betritt, sind die zugewiesenen Sitzplätze der Passagiere 2–49 besetzt. Zu diesem Zeitpunkt haben 49 Personen (einschließlich Passagier 1) Platz genommen, sodass nur noch ein Sitzplatz frei ist.
Da noch ein Sitzplatz übrig ist und die Sitzplätze 2–49 garantiert besetzt sind, muss der freie Sitzplatz Sitz 1 oder Sitz 50 sein. Es ist unmöglich, dass sowohl Sitz 1 als auch Sitz 50 vor dem Einsteigen des letzten Passagiers besetzt werden, da dies bedeutet, dass alle 50 Sitze im Flugzeug von nur 49 Passagieren besetzt sind.
Fakt: Der letzte Passagier sitzt mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf Platz 1 und Platz 50.
Wenn der letzte Passagier einsteigt, ist der Ausgang des Problems der verlorenen Bordkarte bereits festgelegt, da er nur einen Sitzplatz zur Auswahl hat. Wir müssen uns daher die Entscheidungen ansehen, denen sich die Passagiere 1–49 gegenübersehen.
Für Passagier 1 besteht die gleiche Wahrscheinlichkeit, einen der 50 Sitze zu wählen. Demzufolge ist die Wahrscheinlichkeit, dass er seinen eigenen zugewiesenen Sitzplatz wählt, und die Wahrscheinlichkeit, dass er den zugewiesenen Sitzplatz des letzten Passagiers wählt, gleich.
Die Passagiere 2–49 können nur dann auf Sitz 1 oder 50 sitzen, wenn ihr zugewiesener Sitzplatz besetzt ist. In diesem Fall besteht auch die gleiche Wahrscheinlichkeit, auf jedem verfügbaren Platz zu sitzen.
Obwohl sowohl Sitz 1 als auch Sitz 50 unbesetzt sind, ist es gleich wahrscheinlich, dass einer der Sitze gewählt wird. Nachdem einer dieser beiden Sitze belegt ist, bleibt der andere Sitz garantiert unbesetzt, bis der letzte Fahrgast einsteigt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sitzplatz 50 von einem früheren Passagier belegt ist, beträgt 1/2.
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der letzte Fahrgast seinen Sitzplatz frei vorfindet, ebenfalls 1/2.
Danke im Voraus für deine Antwort! :)
