Existiert das folgende Uneigentliche Integral? Falls ja, was ist sein Wert?

Question

Aufgabe:

Existiert das folgende Uneigentliche Integral?  Falls ja, was ist sein Wert?

\( \int \limits_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{4}+x^{2}} d x \)

Answer 1

also ich habe das so gelöst :

Answer 2

Ja, das obige uneigentliche Integral existiert.

Das Ergebnis lautet -arctan(x)-(1/x)+C

Mit eingesetzten Grenzen kommt als Ergebnis -π/4+1 raus.

Es hilft, am Anfang den Integranden umzuschreiben in (-1/(x^2+1))+(1/x^2)

Den Rechenweg kannst du ja einmal selber versuchen. Wenn du nicht klarkommst, frag einfach nach, dann helfe ich dir.

Comments

Fehlerhinweis :
Sommersonne, anstelle
( - 1/(x²+1)) + (1/x²)
muß es heißen
( - 1/(x²+1)) * (1/x²)
mfg Georg

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danke für den Hinweis georgborn. Muss wohl ein Tippfehler von mir sein.

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Es kommt aber ein anderes Integral heraus. mfg Georg

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Habe ehrlich gesagt das obige als Ergebnis raus. Bin gerade unterwegs und habe leider keinen Stift und Papier zur Hand, um meine Rechnung nachzuprüfen.

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Ich habe es leider nicht geschafft es selbst aufzuleiten.
Die Stammfunktion ist - ( x * arctan(x ) + 1 ) / x
Dank Wolfram-Alpha

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Werde es nachher für mich auf jeden Fall noch einmal rechnen. Aber wenn wolframalpha das sagt, wird es wohl stimmen.

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@Georg: Was Sommersonne schreibt ist korrekt. Bei der Summe handelt es sich um eine Partialbruchzerlegung.

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Ich habe die Antwort von Wolfram wiedergegeben.
Richtig ist : wenn man die Antwort von Wolfram kürzt kommt dasselbe
wie bei Sommersonne heraus.
Partialbruchzerlegung : auch das ist richtig

Ich hatte mich selbst an der Aufgabe versucht und umgeformt zu
(-1/(x²+1)) * (1/x²)  ( stimmt auch bis auf das minus )
Ich hatte aus der Umformung  und der anderen Formel
auf einen Fehler geschlossen.

Answer 3

Die Folge $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^2(1+n^2)}$$ konvergiert gegen Null ---

Die Reihe  $$\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(1+n^2)}$$ kann man (positiv) auf Konvergenzkriterien prüfen. Daher ist das Integral mit an Wahrscheinlichkeit grenzender Sicherheit bestimmt.
$$ \int \frac{1}{x^4+x^2} dx$$
Um mal zu sehen, wie man günstig die partielle Integration gestaltet, erst mal schaun wie die Integrale und ableitungen der Faktoren so aussehen :
$$\int\frac{1}{x^2}\cdot\frac{1}{1+x^2} \, dx$$
U:$$\int\frac{1}{1+x^2}dx = \arctan(x) +C $$
u'$$\frac{d(1/(1+x^2))}{dx} =  \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$$
V:$$\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac1x +C$$
v':$$\frac{d(1/x^2)}{dx} =  \frac{-2}{x^3}$$

Comments

$$ ∫U \cdot v' $$
$$ ∫\frac{1}{1+x^2} \cdot \frac1{x^2}dx$$
u':$$\frac{d(1/(1+x^2)}{dx} = \frac{-2x}{(x^2+1)^2} $$
V:$$\int \frac1{x^2 }dx = -\frac1x+C$$
$$ \int U \cdot v' =U \cdot V - \int u' \cdot V $$
$$ \int U \cdot v' =\frac{1}{1+x^2}  \cdot (-\frac1x)- \int  \frac{-2x}{(x^2+1)^2} \cdot (-\frac1x) $$
$$ \int U \cdot v' =\frac{-1}{x\cdot(1+x^2)}  -2 \int  \frac{1}{(x^2+1)^2}  $$
$$ \int U \cdot v' =\frac{-1}{x\cdot(1+x^2)}  -2 \cdot \frac12 \frac{x}{x^2+1} +\arctan(x)+C  $$
$$ \int U \cdot v' =\frac{-1}{(1+x^2)} \left(\frac1x+ x \right)-\arctan(x)+C  $$
$$ \int U \cdot v' =\frac{-1}{(1+x^2)} \left(\frac1x+ \frac{x^2}{x} \right)-\arctan(x)+C  $$
$$ \int U \cdot v' =\frac{-1}{1+x^2} \cdot \frac{1+x^2}{x} -\arctan(x)+C  $$
$$ \int U \cdot v' =\frac{-1}{x}  -\arctan(x)+C  $$

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@pleindespoir
Im ersten Teil deiner Antwort mußte ich mir die für mich
ungewohnte Notation
∫ u  -  u  -  u ´ = U  -  u  -  u´
erst klarmachen.
Diese wurde im zweiten Teil  nicht eingehalten.
was aber nicht gravierend war, aber für etwas
Verwirrung sorgte.

Ansonsten sind Lösungweg und Lösung richtig.
Mir selbst wäre / ist es nicht gelungen das Integral
∫ 1 / ( x^2 + 1 )^2 = arctan ( x ) + 1/2 * x / ( x^2 + 1 )
aufzustellen.

Gestern habe ich 3 Antworten von dir gelesen

- einen genialen Einzeiler der völlig falsch war
- einen genialen Einzeiler, von mir zunächst
  als falsch und für den Fragetseller als wenig
  hilfreich angesehen, der aber richtig war e^{2t}
- in diesem Strang: eine Antwort, in der Mitte
  abrupt abgebrochen und für mich ohne
  Informationsgehalt.

Die Beantwortung von Fragen wird von manchen
noch dem Motto ausgeführt :

- einen genialen Einzeiler hinwerfen ( denn mehr
würde ja Mühe bedeuten ) und dann schein-
rationalisieren  " aus pädagogischen Gründen ".

Wenn die Nachfrage vom Fragesteller kommt :
" deine Antwort hat mir nicht weitergeholfen " hat
man irgendetwas falsch gemacht.

In diesem Sinne geben wir also dem Fragesteller
Antworten die ihm weiterhelfen, ob durch Komplett-
lösungen ( die auch lehrreich sind ) oder durch
Denkanstöße.

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@georgborn: Einzeiler werden von uns meist in Kommentare umgewandelt. Einfach auf "Melden" klicken. Hier ist kein weiteres Einschreiten notwendig.

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- einen genialen Einzeiler der völlig falsch war

welchen meinst Du? Bitte threadlink, dann guck ich nochmal nach.

- in diesem Strang: eine Antwort, in der Mitte
  abrupt abgebrochen und für mich ohne
  Informationsgehalt. 

Das war ein Hinweis, wie weiterzuverfahren sein könnte. Ich habs fertig gerechnet, nachdem ich darum gebeten wurde. Ist ja schliesslich ein wenig Aufwand und wenns keinen interessiert what for?

Könnte ja sein, dass der Fragesteller mit einem kleinen Hinweis selbst weiterkommt, ihm das selbst nach vorexerzieren vielzu kompliziert ist und es ohnehin nicht checkt oder in einem anderen Forum eine Antwort bekommen hat, da ich einige Fragen nicht nur hier, sondern auch in anderen Foren finde.

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In diesem Sinne geben wir also dem Fragesteller
Antworten die ihm weiterhelfen, ob durch Komplett-
lösungen ( die auch lehrreich sind ) oder durch
Denkanstöße.

Komplettlösungen schreiben die Schüler bereits im Unterricht ab und kapieren nix. Manche versuchen sogar die Aufgaben auswendig zu lernen, und wundern sich über ihre Noten obwohl sie doch sooo viel gelernt haben. Die übersehen jegliche Abwandlung der Aufgabenstellng und scheiben ab, was sie noch erinnern.

Komplettlösungen gibt es bei wolframalpha - dazu brauchts kein Forum

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allgemeine Bemerkung : Durch vorgerechnete Lösungen, die ich dann
nachvollziehen konnte, habe ich selbst eine Menge gelernt .
Auswendiggelernt habe ich diese nie. Das wäre auch ein
bißchen viel.

Leider kann ich den angesprochenen Strang, völlig falsche
Lösung, nicht mehr finden. Ich habe recherchiert finde ihn
aber nicht mehr. Das sind zuviele Einträge. Ist keine
Absicht  oder Drückebergerei.