Koeffizenten einer Fourier-reihe: f(x):=x, für |x| ≤π/2 und f(x):= 0 für π/2 <|x| ≤π

Question

Die Aufgabe lautet: Was können sie über die Koeffizenten, die Konvergenz sowie die summe der Fourier-Reihe von f sagen? Berechnen sie die Koeffizenten b1(f) und b2(f) dieser Reihe!

Kann mir einer sagen wie man an solche Aufgaben rangeht?

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x} & {|x| \leq \frac{\pi}{2}} \\ {0} & {\frac{\Pi}{2}<|x| \leq \pi}\end{array}\right. \)

Answer 1

Hi,

die Fourierreihe sieht folgendermaßen aus

$$ f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[ a_k \cdot cos(kt)+b_k \cdot sin(kt) \right] $$

Und für die Koeffizienten gilt

$$ (1) \quad a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t) \cdot cos(kt)dt $$
$$ (2) \quad b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t) \cdot sin(kt)dt $$

\( a_k \) ergibt immer 0, da die Funktion \( f(t) \cdot cos(kt) \) ungerade ist.

Die \( b_k \) berechnen sich wie folgt

$$ b_k=\frac{2 \cdot sin\left( \frac{\pi k}{2} \right)-\pi k \cdot cos\left(\frac{\pi k}{2} \right)}{\pi k^2} $$

Damit ergibt sich

\( b_1=\frac{2}{\pi} \) und \(  b_2=\frac{1}{2} \)

Comments

hi

woran erkenne ich das die funktion ungerade ist?

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Hi,

ungerade heisst eine Funktion, wenn gilt \( f(-x)=-f(x) \) und gerade wenn gilt \( f(-x)=f(x) \)

Im Beispiel hast Du die Funktion \( f(x)=x \cdot cos(x) \). Dafür gilt \( f(-x)=(-x) \cdot cos(-x)=-x \cdot cos(x)=-f(x) \) weil der Kosinus eine gerade Funktion ist. Damit ist die Funktion insgesamt ungerade.

Geometrisch bedeutet das, das die Flächen zwischen der Kurve und der x-Achse betragsmäßig gleich groß sind aber umgekehrtes Vorzeichen besitzten. Deshalb ist das Integral über eine ungerade Funktion 0.

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kannst du mir vielleicht noch sagen was man aus der anfangsfunktion alles ablesen kann? kann man sie auch zeichnen

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Was meinst Du mit Anfangsfunktion?

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Die Funktion in der Frage. Wie kann ich betrag x deuten und 0?

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Die Funktion sieht so aus.

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gits da eine seite wo man sich sowas anzeigen lassen kann?

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Ich glaube hier gibt es auch ein Tool. Ich denke mit Wolfram kann man das auch machen. Ich mache das mit Matlab bzw. Mathcad.

Übrigens ist die Funktion periodisch mit 2*\(\pi\). D.h sie wiederholt sich zyklisch.

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ja danke :) in einer woche ist klausur und dann ist endlich mathe vorbei :D diese art mathe finde ich nicht so toll

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kannst du mir noch sagen was du bei b_k für grenzen eingesetzt hast und wie du die integration aufgestellt hast.

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Da gibt es zwei Möglichkeiten.

(1) Partielle Integration

(2) Du schaust in einschlägigen Tabellen nach für eine Stammfunktion für \( x*sin(x) \). Die Tabelle liefert dann \( sin(x)-xcos(x)  \)

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und wie kommst du auf πk² unter dem bruch?

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Mach einfach die Transformation \( z=k\cdot x \) dann gilt \( dz=k\cdot dx\)und transformiere die Integralgrenzen entsprechend, dann erhältst Du das Ergebnis.

Hier noch ein Bild, um zu zeigen das die Fourierreihe wirklich die Ausgangsfunktion approximiert. Die Approximation berücksichtigt hier nur die ersten 5 Reihenglieder. Dafür sieht es doch schon ganz gut aus, oder?

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könntest du es mir vielleicht mal vorrechen ich komm einfach nicht auf das ergebniss^^

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Schreib doch mal auf, was Du gerechnet hast, dann finde ich vielleicht den Fehler. Das hilft mehr als vorrechnen.

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ist die ausgangsgleichubg für bk so richtig ? ich weiß nicht wie ich auf f(t) komme

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Ja das ist ok!

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und wie berechne ich die summe und die konvergenz dieser reihe?

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Ich weiss nicht was Du damit meinst. Die Funktion lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln, dass muss Du nicht mehr beweisen, sondern nur noch die Koeffizienten berechnen. Hast Du die Koeffizienten berechnet, kann man die Reihe numerisch auswerten. Das habe ich auch so gemacht, um das Bild zu erstellen.

Hast Du jetzt \( b_k \) berechnet?

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Ja bk habe ich jetzt errechnet.

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Ja dann bist Du fertig. Setze für k 1 und 2 ein dann kommst Du auf das geforderte Ergebnis. Und wenn Du die ein paar Reihenglieder zusammenzählst und in Abhängigkeit von t auswertest, auf so ein ähnliches Bild wie ich es gepostet habe.

Hier nochmal eine Auswertung mit 20 Reihengliedern.

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ok alles klar danke :)

hier habe ich noch son ähnliches beispiel:

bei dem ist a0 (f)  a2 (f)  und c2  (f)  gesucht.

ist das so richtig mit den Ansätzen?

     

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das ist für a2

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nein die Ansätze sind nicht richtig. Du musst Dir mal überlegen wo die Ausgangsfunktion 0 ist und wo nicht. Dann kannst Du die Integrationsgrenzen auch richtig setzten, siehe Grafik.

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alles was kleiner pi/2 ist da ist die die funktion 0 ?

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muss ich als grenzen 0 und pi nehmen ?

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Oder andere grenzen... Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen

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Die Funktion ist 0 im Bereich \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \)
Deshalb mus man folgendes berechnen
$$ a_k=\frac{1}{\pi} \cdot \left[ \int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}}(-t)\cdot cos(kt)dt+ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}t\cdot cos(kt)dt\right] $$
und
$$ b_k=\frac{1}{\pi} \cdot \left[ \int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}}(-t)\cdot sin(kt)dt+ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}t\cdot sin(kt)dt\right] $$

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Ah ok da brauch man ja ewigkeiten zum integrieren. Das wird ja eine ganz schön lange Rechnung .

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Die \( b_k \) sind 0. Das kann man sehen, mit der Transformation \( u=-t \)
Die Koeffizienten \(a_k\) kann man auch relativ einfach, z.B. \( \quad a_0\)
$$ a_0=\frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}}(-t)dt+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}tdt \right]=\frac{3}{4}\cdot \pi  $$