Symmetrie von Funktionen? Bsp. x³ - 6x² + 1

Question

f(x) = x³ - 6x² + 1



ich soll diese Funktion auf Symmetrie untersuchen, aber im Funktionsterm sind weder nur ungerade Exponenten noch nur gerade Exponenten, denn da sind gemischte Exponenten, wit welcher Formel könnte ich es schaffen.

Comments

Parabeln 3. Grades sind immer symmetrisch bezüglich des Wendepunktes. Dass dies in deinem Beispiel so ist, hat Mathecoach explizit nachgerechnet. Du könntest diese Regel auch allgemein beweisen.

Answer 1

Schau dir mal den Funktionsgraphen an

f(x) = x^3 - 6x^2 + 1

Also wenn es eine Symmetrie gibt dann eine Punktsymmetrie zum Wendepunkt bei WP(2|-15)

Zu zeigen wäre das über:

f(2 + x) = 2·(-15) - f(2 - x)
(2 + x)^3 - 6(2 + x)^2 + 1 = 2·(-15) - ((2 - x)^3 - 6(2 - x)^2 + 1)
x^3 - 12·x - 15 = x^3 - 12·x - 15

Das stimmt. Also gibt es eine Punktsymmetrie zum Wendepunkt. 

Answer 2

Bei gemischten Exponenten gibt es keine Symmetrie, jedenfalls keine Achsensymmetrie zur y-Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung.