Fläche eines Dreiecks mit Hilfe des Umkreisradius - Beweis

Question

Gegeben sei ein beliebiges Dreieck in der ebene mit den Seiten a, b, c. Für den Umkreisradius gilt: 2r= a/sin(Alpha) =b/sin(Beta)=c/sin(Gamma). Wie beweist man die Formel für den Flächeninhalt: A=a*b*c/4r oder A=2r*r*sin(Alpha)*sin(Beta)*sin(Gamma)?

Comments

Vielleicht hilft dir das Folgende irgendwie weiter. Ich komme damit aber nicht auf die gewünschten Formeln.

Zeichne mal ein Dreieck und seinen Umkreis. Sowie die 3 Radien r.

Du hast 3 Teildreiecke mit Seitenlängen a, r, b und c.

Nun gilt in einem Kreis: Zentriwinkel = 2*Peripheriewinkel

Also Alpha kommt auch im Teildreieck mit Seiten a,r,r vor und zwar doppelt bei M.

Nun kannst du dieses Dreieck von M aus halbieren und bekommst 2 rechtwinklige Hälften, die bei M den Winkel Alpha haben.

Die Seiten dieser Hälften messen a/2=r*sin α, r und r*cos α.

Die Fläche einer solchen Hälfte ist eine halbe Rechtecksfläche. Also:  (r*sin α * r * cos α ) / 2

Beide Hälften zusammen haben die Fläche r^2 sin α cos α = r^2  *1/2 sin (2α)

Für das gesamte Dreieck r^2  * 1/2  (sin(2α) + sin (2BETA) + sin (2GAMMA) )

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Ja, danke! Analoges habe ich auch gerechnet, die  sin(2*winkel) erweisen sich leider als sehr sperrig und ich Komma dann auch nicht weiter....

Answer 1

A = a* h_a / 2

h_a = b * sin(γ)

2r=  c/sin(γ)

c = sin(γ) * 2r

sin(γ) = c / (2r)

h_a = b * sin(γ) = b * c / (2r)

A = a* h_a / 2 = a * b * sin(γ) /2 = a *  b * c / (2r)/2 = abc / (4r)