Ist mein "Fahrplan" korrekt? (Extrempunkte, Wendepunkte, Sattelpunkte)

Question

Hallo :)

Mir schleichen sich beim rechnen immer wieder Fehler ein. Ich habe deshalb versucht mir einen "Fahrplan" zum Ergebnis zu erstellen. Ist das so korrekt ? Ganz wichtig..

Extrempunkte

1.Notwendiges Kriterium: F ' (x) = 0    also  F ' (x) = 0 setzen!

2.Nullstellen Berechnen von F ' (x) und ich erhalte eine mögliche Extremstelle =  XE

3. Hinreichendes Kriterium F ' (XE) = 0      ^      F '' (XE) // 0

4.Wenn   F ' (XE) // 0   Dann  gibt es keine Extrempunkte

5. Ansonsten gillt F ' '(XE) =   >   0    =   TP           F ' '(XE) =   <   0    =   TP

6.Für die Y-Koardinate XE in F(x) einsetzen und wir erhalten den Punkt E ( XE | F(XE) )

Wendepunkte

1.Notwendiges Kriterium: F '' (x) = 0    also  F '' (x) = 0 setzen!

2.Nullstellen Berechnen von F '' (x) und ich erhalte einen möglichen Wendepunkt =  Xw

3. Hinreichendes Kriterium F '' (Xw) = 0      ^      F ''' (Xw) // 0

4.Wenn   F ''' (Xw) > 0  Dann R-L-K          Wenn   F ''' (Xw) < 0 Dann L-R-K

5.Für die Y-Koardinate Xw in F(x) einsetzen und wir erhalten den Punkt W ( Xw | F(Xw) )

Sattelpunkt

1.Notwendiges Kriterium:   F ' (Xw) = 0               wenn F ' (Xw) // 0           Dann kein Sattelpunkt.

zusätzliche Frage: Kann es auch keine Wendepunkte geben ?  Also kann der Fall F '' (Xw) // 0   eintreten?

Comments

Tipp zur Selbstkontrolle und eventueller Ergänzung:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Answer 1

Hi Artur,

ist zwar teils doppelt gemoppelt, aber sehe da jetzt keine Fehler die es zu bemängeln gäbe.

Der Sattelpunkt stimmt aber nicht. Der Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit f'(x) = 0 zu den "normalen" Bedingungen eines Wendepunkts^^.

Die zusätzliche Frage verstehe ich nicht. Ist doch so, dass es viele Funktionen ohne Wendepunkte gibt? Bspw. die Parabeln?! ;)

Grüße

Comments

Ein wenig überarbeitet und zusammen gefasst :) Ich denke jetzt muss das alles stimmen.

Extrempunkte

1.Notwendiges Kriterium: F ' (x) = 0

2.Nullstelle/n XE aus F ' (x) berechnen

3. Hinreichendes Kriterium F ' (XE) = 0      ^      F '' (XE) // 0

4.Wenn   F ' (XE) // 0   Dann  gibt es keine Extrempunkte

5. Ansonsten gillt F ' '(XE) =   >   0    =   TP           F ' '(XE) =   <   0    =   HP

6.Y-Koardinate berechnen

Wendepunkte

1.Notwendiges Kriterium: F '' (x) = 0

2.Nullstelle/n Xw aus F '' (x) berechnen

3. Hinreichendes Kriterium F '' (Xw) = 0      ^      F ''' (Xw) // 0

4.Wenn   F ''' (Xw) > 0  Dann R-L-K          Wenn   F ''' (Xw) < 0 Dann L-R-K

5.Y-Koordinate berechnen

Sattelpunkte

- Notwendige Kriterien  f'(x) = 0    f''(x) = 0    f'''(x ) ≠ 0

- Nullstelle aus f''(x) in f'(x) einsetzten.

- wenn Kriterien erfüllt werden dann in f(x) einsetzten für die Y-Koordinate und somit ergibt sich der Sattelpunkt.

Zu meiner Frage: Anders ausgedrückt, woran erkenne ich das es keinen Wendepunkt gibt ? Wenn ein Kriterium nicht erfüllt wird ?

Vielen dank, du hilfst mir sehr!

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Zum Sattelpunkt nochmals:

Normal untersuchst Du zuerst nach Extrempunkten. Da mag es nun einen möglichen Extrempunkt geben, dessen zweite Ableitung ebenfalls 0 ist. Da kommst Du auf die Idee, dass es sich um einen Sattelpunkt handeln könnte und untersuchst dies mit der dritten Ableitung.

Bei Dir hört sich das andersrum an (ist nicht falsch), aber das ist wohl eher der unübliche Weg.

Genau, keinen Wendepunkt gibts, wenn das Kriterium nicht erfüllt ist ;).