Kurvendiskussion; Nullstellen; alle Extrempunkte und Wendepunkte.

Question

Aufgabe:

f (x) = x^4 - 17x^2 + 36x -20

Gegeben ist die Nullstelle bei x = 2 und bei x = 1 und einem Extrempunkt bei x = 2.

Berechnen sie weitere Nullstellen; alle Extrempunkte und Wendepunkte.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor, wenn ich einen Extrempunkt vorgegeben habe?

Könnte wer mir einmal alle berechneten Punkte im Koordinatensystem durchgeben, um dass ich weiß, ob ich auf dem richtigen Weg bin?

Comments

Nullstellen:

Dividiere f(x) zuerst durch (x-2), dann durch (x-1)

Er bleibt ein quadratischer Term übrig.

Extremstellen:

Ableiten und Ableitung durch (x-2) dividieren

Wendepunkte:

f ''(x) = 0 (zweimal ableiten)

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x₁=2 ist doppelte Nullstelle und x₂=1 einfache. Dann ist x₄=-2x₁-x₂=-5 auch eine.

Answer 1

(x-1)(x-2)=x²-3x+2

(x⁴ - 17x² + 36x -20):(x²-3x+2)=x²+3x-10

x²+3x-10=0 hat die Lösungen x=-5 und x=2.

Comments

Das geht wesentlich einfacher auch ohne Polynomdivision nach Vieta.

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Vieta scheint in der Schule ausgedient zu haben.

Die pq-Formel hat auch die abc-Formel wohl verdrängt.

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Vielleicht kannst du mir hier noch einmal kurz helfen:

Wenn ich (x4 - 17x2 + 36x -20):(x2-3x+2) rechne Wieso kommt dann +3x heraus?

Ich teile doch -3x^3 / x^2 -3x

Wenn ich x^2 von -3x^3 abziehe bleibt dann nicht -3x übrig?

Oder mache ich da etwas falsch beim geteilt rechnen?

und danke für den schnelleren Weg, jetzt muss ich Ihn nur noch gut anwenden können :D

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Wenn ich (x⁴ - 17x² + 36x -20):(x²-3x+2) rechne, wieso kommt dann +3x heraus?

Hier die Darstellung der Polynomdivision:

(x⁴ +0x³-17x² + 36x -20):(x²-3x+2) =x²+3x-10

x⁴ - 3x³+ 2x²

__________

      3x³-19x²+36x

      3x³ - 9x²+ 6x

   ____________

           -10x2+30x-20

         -10x²+30x-20

        ___________

                         0

Answer 2

Wenn eine Nullstelle auch eine Extremstelle ist, liegt eine doppelte Nullstelle vor.

Also muss die Funktionsgleichung mit Linearfaktoren so aussehen:

f(x)=(x-1)*(x-2)²*(x-x₄)

Answer 3

Funktion und mindestens zwei Ableitungen
f(x) = x^4 - 17·x^2 + 36·x - 20
f'(x) = 4·x^3 - 34·x + 36
f''(x) = 12·x^2 - 34

Symmetrie
Keine standard Symmetrie

Verhalten im Unendlichen
lim (x → -∞) f(x) = ∞
lim (x → ∞) f(x) = ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)
f(0) = - 20

Nullstellen f(x) = 0
x^4 - 17·x^2 + 36·x - 20 = 0 → Über Wertetabelle Nullstellen bei x = -5 ∨ x = 2 ∨ x = 1
(x^4 - 17·x^2 + 36·x - 20) / (x + 5) = x^3 - 5·x^2 + 8·x - 4
(x^3 - 5·x^2 + 8·x - 4) / (x - 2) = x^2 - 3·x + 2
(x^2 - 3·x + 2) / (x - 1) = x - 2 → 2 ist eine doppelte Nullstelle
x = -5 ∨ x = 2 (2-fach) ∨ x = 1

Extrempunkte f'(x) = 0
4·x^3 - 34·x + 36 = 0 → 2 ist ein Extrempunkt, weil 2 eine doppelte Nullstelle war
(4·x^3 - 34·x + 36) / (x - 2) = 4·x^2 + 8·x - 18
4·x^2 + 8·x - 18 = 0 → x = - 1 ± √22/2 → x = -3.345 ∨ x = 1.345

f(-3.345) = - 22·√22 - 409/4 = -205.4 → TP(-3.345 | -205.4)
f(1.345) = 22·√22 - 409/4 = 0.9391 → HP(1.345 | 0.9391)
f(2) = 0 → TP(2 | 0)

Wendepunkte f''(x) = 0
12·x^2 - 34 = 0 → x = ± √102/6 = ± 1.683
f(- √102/6) = - 6·√102 - 2165/36 = - 120.7 → WP(- 1.683 | - 120.7)
f(√102/6) = 6·√102 - 2165/36 = 0.4581 → WP(1.683 | 0.4581)