e-Funktion: Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion p mit $$p(x)=20e^{-0,01(x-5)^{2}},\quad x\in\mathbb{R}$$

Berechne Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte.

Problem/Ansatz:

Moin,

leider verzweifel ich gerade an dieser Aufgabe, da ich nicht weiß wie ich diese Funktion ableiten soll.

Das hier wäre mein Ansatz: $$p´(x)=20e^{-0,01(x-5)^{2}}\cdot(\frac{x-5}{50})$$

Es wäre sehr nett wenn jemand mal rübergucken könnte und mir auch bei der Berechnung der Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte helfen könnte. Schonmal Danke im Voraus.

Answer 1

Fast richtig.

Es gilt:

f(x) = e^(g(x))  -> f '(x) = e^(g(x)) * g'(x)

g(x) = -0,01*(x-5)^2 -> g'(x)= -0,01*2*(x-5)*1 = -0,02(x-5)  = (5-x)/50

Den Faktor 20 einfach mitschleppen.

Es gibt keine Nullstellen.

Extrema:

p'(x) =0

Wendepunkt:

p''(x) = 0 ( nochmal ableiten mit der Produktregel !)

zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 2

( e ^term ) ´ = e ^term * ( term ´ )

term = e^(-0.01*( x-5)^2 )

term ´ = -0.01 * 2 * ( x - 5 ) * 1 = -0.02 * ( x -5 )
= 0.1 - 0.02 * x
e^(-0.01*( x-5)^2 ) * ( 0.1 - 0.02 * x )

p ´( x ) = 20 * e^(-0.01*( x-5)^2 ) * ( 0.1 - 0.02 * x )
p ´´ ( x ) = e^(-0.01*( x-5)^2 ) *
               ( 0.008*x^2 - 0.08*x - 0.2)

Berechne Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte.
Nullstellen keine
Extrempunkte x = 5 | p ( 5 )
Wendepunkt x = -2.07
Wendepunkt x = 12.07

Comments

Drei Fehler:

Statt  x = -2.07 und  x = 12.07
muss es 5-\( \sqrt{50} \) und 5+\( \sqrt{50} \) heißen.

Die angepriesenen Wendepunkte sind keine Wendepunkte. Das war der missglückte Versuch, Wendestellen anzugeben.