Wie viele Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte können die Funktionen besitzen?

Question

Aufgabe:

1. Betrachten Sie die Funktionen mit den Gleichungen

f(x)=x^4-9x^2+5

und

g(x)=(x^3-9x)*e^-x

a. Beschreiben Sie für beide Funktionen
i. wie viele Nullstellen sie besitzen können,
ii. wie viele Extrempunkte sie besitzen können und
iii. wie viele Wendepunkte sie besitzen können.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie ich anhand der Funktion nachvollziehen kann wie viele Nullstellen etc. die Funktion besitzen kann.

Vielen Dank

Answer 1

Hallo,

f ist 4. Grades und achsensymmetrisch. Es könnte also wie ein abgerundetes W aussehen, da der Faktor von x^4 positiv ist.

Wenn das W oberhalb der x-Achse liegt gibt es keine Nullstelle. Wenn die unteren beiden Punkte die Achse berühren, gibt es zwei Nullstellen. Außerdem könnte es drei oder vier Nullstelen geben.

Ein Extremum befindet sich wegen der Symmetrie auf jeden Fall bei x=0 auf der y-Achse. Wenn es ein weiteres Extremum existiert, gibt es auch wegen der Symmetrie ein drittes. Es können also 1 oder 3 Extrema sein.

Bei der Anzahl der Wendepunkte kann auch mit der Symmetrie argumentiert werden. Es kann nur 0 oder 2 geben.

:-)

Answer 2

Die Anzahl der Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen n-ten Grades ist höchstens n.

Kannst du damit auch etwas zu der maximalen Anzahl der Extremstellen folgern?

Comments

Nein, wie kann ich nun anhand des Grades die maximale Anzahl an Extremstellen und Wendepunkten folgern ?

Wie es bei den Nullstellen geht habe ich jetzt verstanden.

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Stelle doch erst mal klar, was WIRKLICH gefragt ist.

Eine BELIEBIGE Funktion 4. Grades kann 0, 1, 2, 3 oder 4 reelle Nullstellen haben.

Die konkret vorgegebene Funktion x^4-9x^2+5 hat eine sehr konkrete Anzahl von Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen; da geht es nicht darum, wie viel sie eventuell oder maximal haben kann.

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Du berechnest die Extremstellen der gegebenen Funktion f durch die Nullstellen von f'.

Also ist die Anzahl der Extremstellen von f = Anzahl der Nullstellen von f'.

Die Berechnung der maximalen Anzahl der Wendestellen erfolgt analog, nur eben mit der zweiten Ableitung.

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Was wäre denn die konkrete Anzahl der Extrem-/ und Wendestellen ?

Wie kann ich das anhand des Grades der Funktion bestimmen bzw. woran mach ich das Fest ?

Die Aufgabe ist ja, dass ich beschreiben soll wie viele Extremstellen und Wendestellen die Funktion besitzen KANN.

Wie geht das jetzt

Answer 3

Hallo

ein Polynom n ten Grades hat maximal n Nullstellen

die Ableitungen dann entsprechend weniger.

für die Nullstellen gilt das auch für b, da e^-x nie 0 wird

dagegen kann die Ableitung und 2 te Ableitung eine Nullstelle mehr haben, weil das e^-x die Stellen wo das Polynom für große x steil ansteigt nach unten drückt, also ein weiteres Min oder Mac produziert, du kannst aber auch einfach f' bilden, um das zu sehen

Gruß lul