Polynomfunktion 3.Grades durch P1 (-4/1) und P2 (0/0)

Question

Hallo.

Ich habe ein Problem bei dem Modellieren einer Polynomfunktion 3.Grades.

Und zwar soll diese durch die Punkte (-4/1) und (0/0) gehen. Die Funktion soll den Sinkflug eines Flugzeugs darstellen, dass sich ab -4/1 im Landeanflug befindet und bei 0/0 auf die Landebahn aufstetzt.

Als Kontrolllösung ist f(x)=1/32x³+3/16x²

Außerdem soll berechnet werden wann die Flugbahn in dem Abschnitt am steilsten ist, der Abstiegswinkel ist auch gesucht.

Ich komme allerdings mit dem LGS nicht genau klar....

Danke, Kevin

Answer 1

Hi Kevin,

Die sich ergebenden Bedingungen

f(0)=0    (Gegebener Punkt)

f'(0)=0   (Muss die Steigung 0 haben, da ja gelandet werden soll)

f(-4)=1   (Gegebener Punkt)

f'(-4)=0   (Muss die Steigung 0 haben, da ab hier Landeflug begonnen wird)

Sich ergebendes Gleichungssystem

d = 0

c = 0

-64a + 16b - 4c + d = 1

48a - 8b + c = 0

Gelöst: f(x) = 1/32*x^3 + 0,1875x^2

Am steilsten ists am Wendepunkt. Suche diesen.

Winkel findest Du mit dem Steigungsdreieck.

Du kommst klar?

Grüße

Answer 2

f ( x ) = a*x^3 + b * x^2 + c* x + d

( -4  | 1 )
( 0 | 0 )  damit ist d = 0

f ( x ) = a*x^3 + b * x^2 + c* x
f ´( x ) = 3*a*x^2 + 2 * b *x +  c

Beginn des Landeanflugs : Steigung = 0
Landung : Steigung = 0
f ´( -4 ) =  3*a*(-4)^2 + 2 * b *(-4) +  c = 0
f ´( 0 ) =  3*a*(0)^2 + 2 * b *(0) +  c = 0  damit ist c = 0

f ´( -4 ) =  3*a*(-4)^2 + 2 * b *(-4)  = 0
f  ( -4 ) = a*(-4)^3 + b * (-4)^2  = 1

Es bleiben 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Kannst du das lösen ?
Falls nicht führe ich auch einmal vor.

f ( x ) =1/32 * x³ + 3/16 * x²
Die Steigung ( oder besser Fallung ) ist am Wendepunkt am größten
f ´ ( x ) = 3/32 * x^2 + 6/16 * x
f ´´ ( x ) = 6 /32 * x + 6/16
Wendepunkt
6 /32 * x + 6/16 = 0
6 / 32 * x = - 6 /16
x = ( -6 * 32 ) / ( 6 * 16 )
x = -2
Winkel
f ´( -2 ) =  3/32 * (-2)^2 + 6/16 * (-2)
f ´´ (- 2 ) = 3 / 8  -  6 / 8
f ´´ ( -2 ) = - 3/8
tan ( Winkel ) = -3/8
Winkel = - 20.56  °

Answer 3

f(0) = 0

f'(0) = 0

f(-4) = 1

f'(-4) = 0

Bei den Gleichungen und der Kontrolllösung hilft die Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f(x) = 1/32·x^3 + 3/16·x^2

f'(-2) = - 3/8 --> -20.56°

Ein Abstiegswinkel von 20 Grad ist glaube ich schon extrem steil. Das sollte wenn dann eine kleine Sportmaschine sein.