Konsumenten- und Produzentenrente: pA(x)=e^{1/2 x} und pN(x)=1/2ke^{-1/2 x}

Question

Übungsaufgaben zu e-Funktionen - Konsumenten- und Produzentenrente:

Gegeben sind \( p_{A}(x)=e^{ \frac{1}{2}x } \) und \( p_{N}(x)= \frac{1}{2} k e^{-\frac{1}{2} x} \)

a) Bestimme \( k \) so, dass der Ordinatenabschnitt bei \( y_{\text {ord }}=4 \) liegt.

b) Bestimme den Gleichgewichtspunkt in Abhängigkeit von \( \mathrm{K} \).

c) Bestimme \( k \) so, dass der Gleichgewichtspunkt in \( G(2 \mid e) \) liegt.

Im Folgenden gilt: \( G(2 \mid e) \) und \( k=2 e^{2} \).

d) Welche Werte haben die Steigungen beider Kurven im Gleichgewichtspunkt?

e) Zeichne die Angebots- und Nachfragefunktion.

f) Bestimme die Konsumenten- und Produzentenrente algebraisch.

g) Erläutere die Begriffe Konsumenten- und Produzentenrente.

h) Welcher Art ist der Überhang bei einem Preis von \( 1,5 \mathrm{GE} \) \((3,5 \mathrm{GE}) \)? Berechne die Werte.

Der "Gleichgewichtspunkt" wird so definiert: \( pA(x)= pN(x) \)

Answer 1

$$ pA(x)= pN(x) $$
$$ e^{\frac12x} =\frac12ke^{-\frac12x } $$
$$ e^{\frac12x} =\frac12k\cdot \frac1{e^{-\frac12x } }$$
$$ \left(e^{\frac12x} \right)^2=\frac12k$$
$$ e^{x} =\frac12k$$
$$ x =\ln(\frac k2)$$
$$ x =\ln( k)-\ln(2)$$